Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRao-Blackwell Teoremi

Bir trafik izleme merkezinde, bir kavşaktan geçen ardışık iki aracın geçişleri arasındaki bekleme süreleri X1X_1 ve X2X_2 olarak ölçülmektedir. Bu sürelerin, beklenen değeri θ\theta olan üstel dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler olduğu bilinmektedir.

Bir veri analisti, θ\theta parametresini tahmin etmek için sadece ilk aracın bekleme süresini dikkate alan θ^1=X1\hat{\theta}_1 = X_1 tahmin edicisini kullanmayı önermiştir. Ancak bu tahmin edicinin varyansını düşürmek amacıyla, θ\theta için yeterli (sufficient) bir istatistik olan T=X1+X2T = X_1 + X_2 istatistiği üzerinden Rao-Blackwell teoremi uygulanmak istenmektedir.

Buna göre, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen yeni ve iyileştirilmiş θ^2=E(θ^1∣T)\hat{\theta}_2 = E(\hat{\theta}_1 \mid T) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. X1+X22\frac{X_1 + X_2}{2}Cevap
  2. B
    X1+X2X_1 + X_2
  3. C
    (X1+X2)22\frac{(X_1 + X_2)^2}{2}
  4. D
    X1X_1
  5. E
    X1X1+X2\frac{X_1}{X_1 + X_2}

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uygulandığında elde edilen yeni tahmin edici X1+X22\frac{X_1 + X_2}{2} olur.
Rao-Blackwell teoremine göre, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerindeki koşullu beklenen değeri, varyansı daha düşük (veya en azından eşit) olan yansız bir tahmin edici verir. Soru, θ^2=E(X1∣T)\hat{\theta}_2 = E(X_1 \mid T) değerini bulmamızı istemektedir. X1X_1 ve X2X_2 bağımsız ve aynı dağılımlı olduğundan, T=X1+X2T = X_1 + X_2 toplamı verildiğinde koşullu beklentiler birbirine eşittir: E(X1∣T)=E(X2∣T)E(X_1 \mid T) = E(X_2 \mid T). Beklenen değerin doğrusallık özelliğinden E(X1∣T)+E(X2∣T)=E(X1+X2∣T)=E(T∣T)=TE(X_1 \mid T) + E(X_2 \mid T) = E(X_1 + X_2 \mid T) = E(T \mid T) = T elde edilir. İki ifade birbirine eşit olduğuna göre 2E(X1∣T)=T2E(X_1 \mid T) = T olur ve buradan yeni tahmin edici T/2=X1+X22T / 2 = \frac{X_1 + X_2}{2} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu beklenen değerin simetri özelliğini belirleme
E(X1∣T)=E(X2∣T)E(X_1 \mid T) = E(X_2 \mid T)
X1X_1 ve X2X_2 bağımsız ve aynı üstel dağılıma sahip olduklarından, toplamları TT bilindiğinde her iki değişkenin koşullu dağılımları tamamen simetriktir.
2
Koşullu beklenen değerin doğrusallık özelliğini uygulama
E(X1+X2∣T)=E(T∣T)=TE(X_1 + X_2 \mid T) = E(T \mid T) = T
TT istatistiği verildiğinde, TT'nin beklenen değeri yine kendisine eşit olmak zorundadır.
3
Simetri ve doğrusallığı birleştirerek denklemi çözme
E(X1∣T)+E(X2∣T)=2E(X1∣T)=T  ⟹  E(X1∣T)=T2E(X_1 \mid T) + E(X_2 \mid T) = 2 E(X_1 \mid T) = T \implies E(X_1 \mid T) = \frac{T}{2}
Simetri özelliğini doğrusallık denkleminde yerine koyarak, ilk tahmin edicinin yeterli istatistik üzerindeki koşullu beklenen değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bağımsız ve aynı dağılımlı örneklemlerde koşullu beklenen değerin simetri özelliği kullanılarak Rao-Blackwell teoreminin uygulanması
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru