Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı

Bir halk sağlığı araştırmacısı, yeni bir aşının yan etki gösterme oranlarını iki farklı demografik grupta karşılaştırmak istemektedir. Araştırmacı, iki kitle oranı arasındaki farkı (p1−p2p_1 - p_2) tahmin etmek için her iki gruptan da eşit sayıda (n1=n2=nn_1 = n_2 = n) birey seçecektir.

Araştırmacının belirlediği güven aralığı için hata payının (margin of error) en fazla 0,050,05 olması istenmektedir. Birinci grup için yapılan önceki çalışmalarda yan etki oranının yaklaşık 0,200,20 olduğu bilinmektedir. İkinci grup için ise varyansı etkileyecek herhangi bir ön bilgi bulunmamaktadır.

Buna göre, araştırmacının hedeflenen hata payını garanti altına alabilmesi için her bir gruptan alması gereken minimum örneklem çapı (nn) aşağıdakilerden hangisidir? (İşlem kolaylığı için hedeflenen güven düzeyine karşılık gelen standart normal dağılım kritik değerini Z=2Z = 2 alınız.)

  1. A
    144
  2. B
    400
  3. C
    512
  4. 656Cevap
  5. E
    800

Cevap

656
İki kitle oranları farkı için güven aralığının hata payı hesabı yapılırken E=Z⋅p1q1n1+p2q2n2E = Z \cdot \sqrt{\frac{p_1 q_1}{n_1} + \frac{p_2 q_2}{n_2}} formülü kullanılır. Birinci grup için p1=0,20p_1=0,20, ön bilgi olmayan ikinci grup için varyansı maksimize eden p2=0,50p_2=0,50 değeri alınır. İfade 0,05=2⋅0,16+0,25n0,05 = 2 \cdot \sqrt{\frac{0,16 + 0,25}{n}} şeklinde yazılıp her iki tarafın karesi alındığında n=1600⋅0,41=656n = 1600 \cdot 0,41 = 656 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İki kitle oranları farkı için hata payı (E) formülünü belirleme.
E=Z⋅p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2E = Z \cdot \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} formülü kullanılır.
Güven aralığının yarı genişliği hata payını verir ve örneklem çapı bu kısımdan çekilir.
2
Verilenleri ve varsayımları yerine koyarak varyans paylarını hesaplama.
n1=n2=nn_1 = n_2 = n, E=0,05E = 0,05 ve Z=2Z = 2 olarak verilmiştir. Birinci grup için p1=0,20p_1 = 0,20 olduğundan p1(1−p1)=0,20⋅0,80=0,16p_1(1-p_1) = 0,20 \cdot 0,80 = 0,16 olur. İkinci grup için ön bilgi olmadığından varyansı maksimize eden p2=0,50p_2 = 0,50 alınır ve p2(1−p2)=0,50⋅0,50=0,25p_2(1-p_2) = 0,50 \cdot 0,50 = 0,25 bulunur.
Ön bilginin olmadığı durumlarda hata payını 'garanti altına almak' için varyansın alabileceği en büyük değer (p=0,50p=0,50 için) kullanılmalıdır.
3
Değerleri formülde yerine koyarak nn değerini yalnız bırakma.
0,05=2⋅0,16n+0,25n  ⟹  0,05=2⋅0,41n0,05 = 2 \cdot \sqrt{\frac{0,16}{n} + \frac{0,25}{n}} \implies 0,05 = 2 \cdot \sqrt{\frac{0,41}{n}}
Eşitsizliği tek bilinmeyenli denkleme dönüştürmek için.
4
Denklemi çözerek minimum örneklem çapına ulaşma.
0,052=0,41n  ⟹  0,025=0,41n  ⟹  (0,025)2=0,41n  ⟹  11600=0,41n  ⟹  n=1600⋅0,41=656\frac{0,05}{2} = \sqrt{\frac{0,41}{n}} \implies 0,025 = \sqrt{\frac{0,41}{n}} \implies (0,025)^2 = \frac{0,41}{n} \implies \frac{1}{1600} = \frac{0,41}{n} \implies n = 1600 \cdot 0,41 = 656.
Matematiksel işlemleri tamamlayarak hedef değişkene (nn) ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki kitle oranları farkı için hata payı üzerinden örneklem çapı hesabı ve bilinmeyen oranlarda varyans maksimizasyonu
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru