Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı

Bir kamu kurumu, iki farklı şehirdeki (A ve B) işletmelerin çevre standartlarına uyum oranlarını karşılaştırmak amacıyla rastgele örneklemler almıştır. Aşağıdaki tabloda bu şehirlerden alınan bağımsız örneklemlere ait veriler özetlenmiştir:

ŞehirÖrneklem Hacmi (nn)Standartlara Uyan İşletme Sayısı (xx)
A10090
B15090

Buna göre, A ve B şehirlerindeki işletmelerin çevre standartlarına uyum oranları arasındaki fark (pA−pBp_A - p_B) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarınızda Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 ve Z0,05=1,645Z_{0,05} = 1,645 değerlerini dikkate alınız.)

  1. (0,202 ; 0,398)(0,202 \,;\, 0,398)Cevap
  2. B
    (0,186 ; 0,414)(0,186 \,;\, 0,414)
  3. C
    (0,163 ; 0,437)(0,163 \,;\, 0,437)
  4. D
    (0,218 ; 0,382)(0,218 \,;\, 0,382)
  5. E
    (0,295 ; 0,305)(0,295 \,;\, 0,305)

Cevap

A ve B şehirleri arasındaki çevre standartlarına uyum oranları farkı için %95 güven aralığı (0,202 ; 0,398) aralığıdır.
İki bağımsız kitle oranı farkı için güven aralığı oluşturulurken her grubun varyansı ayrı ayrı hesaplanır ve toplanarak karekökü alınır. A şehri için p^A=0,90\hat{p}_A = 0,90, B şehri için p^B=0,60\hat{p}_B = 0,60'tır. Nokta tahmini 0,300,30 olarak bulunur. Standart hata 0,0009+0,0016=0,05\sqrt{0,0009 + 0,0016} = 0,05 şeklinde hesaplanır. %95 güven düzeyi için Z=1,96Z=1,96 kullanıldığında hata payı 1,96×0,05=0,0981,96 \times 0,05 = 0,098 olur. Aralık hesaplaması sonucunda (0,202 ; 0,398)(0,202 \,;\, 0,398) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki grup için örneklem oranlarını (nokta tahminleri) hesaplayın.
p^A=90100=0,90\hat{p}_A = \frac{90}{100} = 0,90 ve p^B=90150=0,60\hat{p}_B = \frac{90}{150} = 0,60
Güven aralığının merkezini ve standart hatayı bulabilmek için nokta tahminlerine ihtiyaç vardır.
2
Örneklem oranları arasındaki farkı hesaplayın.
p^A−p^B=0,90−0,60=0,30\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0,90 - 0,60 = 0,30
Hesaplanacak güven aralığı bu değer (0,30) etrafında simetrik olacaktır.
3
İki oran farkına ait standart hatayı (SE) hesaplayın.
SE=0,90×0,10100+0,60×0,40150=0,0009+0,0016=0,0025=0,05SE = \sqrt{\frac{0,90 \times 0,10}{100} + \frac{0,60 \times 0,40}{150}} = \sqrt{0,0009 + 0,0016} = \sqrt{0,0025} = 0,05
İki bağımsız grubun fark dağılımının varyansı, ayrı grupların varyanslarının toplamıdır. Güven aralığında ortak oran (pooled) kullanılmaz.
4
Belirlenen güven düzeyine göre hata payını (ME) bularak güven sınırlarını hesaplayın.
ME=1,96×0,05=0,098ME = 1,96 \times 0,05 = 0,098. Alt Sınır: 0,30−0,098=0,2020,30 - 0,098 = 0,202, Üst Sınır: 0,30+0,098=0,3980,30 + 0,098 = 0,398. Aralık: (0,202 ; 0,398)(0,202 \,;\, 0,398)
%95 güven düzeyi için çift yönlü testte kritik değer Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96'dır.

Anahtar Kavram

İki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru