Examkin

Soru

Zorluk: OrtaARMA Modelleri

Bir e-ticaret platformunun günlük aktif kullanıcı sayısındaki değişimi analiz eden bir veri bilimci, serinin durağanlaştırılmış halini (YtY_t) modellemek için aşağıdaki ARMA(2,1) sürecini önermiştir:

(1−ϕ1L−ϕ2L2)Yt=(1−θ1L)εt(1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2)Y_t = (1 - \theta_1 L)\varepsilon_t

Bu denklemde LL gecikme (backshift) operatörünü, εt\varepsilon_t ise sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.

Buna göre, kurulan bu modelin hem durağan (stationary) hem de tersine çevrilebilir (invertible) olması için parametrelerin sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

  1. ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,∣ϕ2∣<1ve∣θ1∣<1\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1Cevap
  2. B
    ∣ϕ1∣<1,∣ϕ2∣<1ve∣θ1∣<1|\phi_1| < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1
  3. C
    ϕ1+ϕ2<1,ϕ1−ϕ2<1,∣ϕ1∣<1ve∣θ1∣<1\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_1 - \phi_2 < 1 \quad , \quad |\phi_1| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1
  4. D
    ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,∣ϕ2∣<1ve∣θ1∣>1\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| > 1
  5. E
    ∣ϕ1+ϕ2∣<1ve∣θ1∣<1|\phi_1 + \phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1

Cevap

ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,∣ϕ2∣<1ve∣θ1∣<1\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1 eşitsizliklerinin birlikte verildiği seçenektir.
Bir ARMA(2,1) modelinin durağan olabilmesi için AR(2) kısmına ait karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında yer almalıdır. Bu durumun sağlanması için parametrelerin ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 olmak üzere üç eşitsizliği birden sağlaması gerekir. Modelin tersine çevrilebilir olması ise MA(1) kısmının kökünün birim çember dışında kalmasına bağlıdır ve bu koşul ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1 şeklinde ifade edilir. Bu nedenle, hem AR(2) hem de MA(1) kısımlarının şartlarını eksiksiz barındıran ifade doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin yapısını ve durağanlık ile tersine çevrilebilirlik şartlarının hangi bileşenlere bağlı olduğunu belirlemek.
Durağanlık AR(2) kısmına, tersine çevrilebilirlik ise MA(1) kısmına bağlıdır.
ARMA modellerinde durağanlığı otoregresif kısım (1−ϕ1L−ϕ2L21 - \phi_1 L - \phi_2 L^2), tersine çevrilebilirliği ise hareketli ortalama kısmı (1−θ1L1 - \theta_1 L) belirler.
2
AR(2) süreci için durağanlık koşullarını tanımlamak.
Durağanlık için karakteristik denklemin köklerinin mutlak değeri 1'den büyük olmalıdır. Bunun için üç eşitsizlik gereklidir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1.
İkinci dereceden bir fark denkleminin kararlılık (durağanlık) şartları matematiksel olarak bu üçgensel bölge ile ifade edilir.
3
MA(1) süreci için tersine çevrilebilirlik koşulunu tanımlamak.
MA(1) parametresi mutlak değerce 1'den küçük olmalıdır: ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1.
MA modelinin AR formatında sonsuz bir seri olarak ifade edilebilmesi için MA karakteristik denkleminin kökünün birim çemberin dışında olması gerekir.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersine Çevrilebilirlik Koşulları
Bu soruyu puanla

Konular

ARMA Modelleri

Bu konudan daha fazla soru