Bir kalite kontrol uzmanı, bir üretim tesisindeki makinelerin kesintisiz çalışma süreleri … — KPSS İstatistik

Bir kalite kontrol uzmanı, bir üretim tesisindeki makinelerin kesintisiz çalışma süreleri ( $X$ ) ile ürettikleri hatalı ürün sayıları ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi, klasik basit doğrusal regresyon modeli ( $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$ ) kurarak analiz etmiştir. Modelin tahmini sonrasında yapılan artık (kalıntı) analizi, makinelerin çalışma süreleri uzadıkça hata terimlerinin varyansının da sistematik bir şekilde büyüdüğünü (değişen varyans / heteroskedastisite) göstermiştir.

Bu tespit dikkate alındığında, En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin özellikleri ve istatistiksel çıkarımlar üzerinde oluşacak etki aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

A
EKK tahmin edicileri taraflı (sapmalı) hale gelir ve elde edilen katsayı tahminlerinin beklenen değeri gerçek evren parametresi değerlerinden uzaklaşır.
EKK tahmin edicileri tarafsızlık (sapmasızlık) özelliğini korur ancak etkin (minimum varyanslı) olmaktan çıkar ve hipotez testleri yanıltıcı sonuçlar verebilir.Cevap
C
Tahmin ediciler hem tarafsız hem de en küçük varyanslı (BLUE) olma özelliğini korur, ancak katsayılar için hesaplanan güven aralıkları hatalı şekilde sürekli daralır.
D
Değişen varyans problemi, modelin standart belirleme katsayısında ( $R^2$ ) yapay bir artışa neden olduğundan her durumda sadece düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) yorumlanmalıdır.
E
Değişen varyans durumunda, EKK eğim katsayısı ( $\beta_1$ ) formülünün payda kısmında yer alan sapmalar kareler toplamı sıfıra eşitleneceğinden katsayı hesaplanamaz.

Cevap

EKK tahmin edicilerinin tarafsızlığını koruması, ancak en küçük varyanslı (etkin) olma özelliğini kaybetmesi ve hipotez testlerinin güvenilirliğini yitirmesi

Basit doğrusal regresyon modelinde değişen varyans (heteroskedastisite) sorunu ortaya çıktığında, EKK yöntemi ile elde edilen parametre tahmin edicileri tarafsız (beklenen değeri evren parametresine eşit) kalmaya devam eder. Ancak Gauss-Markov teoreminin en önemli varsayımlarından biri olan sabit varyans ihlal edildiği için tahmin ediciler artık 'minimum varyanslı' (etkin) değildir. Etkinlik kaybolduğu ve standart hataların hesaplanmasında kullanılan klasik EKK varyans formülleri hatalı sonuç üreteceği için, kurulan güven aralıkları ve uygulanan t ile F hipotez testleri geçersiz ve yanıltıcı hale gelir.

Adım Adım Çözüm

Modelde tespit edilen sorunun ne olduğunu tanımlama

Hata terimlerinin varyansının sabit olmaması, yani değişen varyans (heteroskedastisite) sorunu tespit edilmiştir.

Soruda makine çalışma süresi (

X

) arttıkça hata varyansının sistematik olarak arttığı belirtilmiştir.

Değişen varyansın EKK tahmin edicileri üzerindeki teorik etkisini değerlendirme

Değişen varyans varlığında, EKK (Ordinary Least Squares) tahmin edicileri tarafsız (unbiased) ve tutarlı (consistent) olmaya devam eder.

EKK'nın tarafsızlık ispatında hata terimlerinin varyansının sabit olması koşulu (Gauss-Markov varsayımı) kullanılmaz. Bu nedenle tarafsızlık bozulmaz.

Değişen varyansın tahmin edicilerin varyansı (etkinlik) ve istatistiksel çıkarım üzerindeki etkisini değerlendirme

Tahmin ediciler 'en iyi' yani minimum varyanslı (etkin) olma özelliğini kaybeder. Standart hatalar sapmalı hale gelir.

Sabit varyans varsayımı ihlal edildiğinden Gauss-Markov teoremine göre EKK artık BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) değildir. Varyans formülleri geçerliliğini yitirdiği için t ve F hipotez testleri yanıltıcı sonuçlar verir.

Anahtar Kavram

Değişen varyans (heteroskedastisite) sorununun En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin istatistiksel özelliklerine (tarafsızlık ve etkinlik) olan etkisi

Tahmini Süre:1m 15s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru