Bir istatistikçi, n = 51 gözlem içeren bir veri setinde bağımlı değişken ile ilgilendiği b… — KPSS İstatistik

Bir istatistikçi, $n = 51$ gözlem içeren bir veri setinde bağımlı değişken ile ilgilendiği bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Bağımlı değişkene ait Genel Kareler Toplamı (GKT) $1000$ 'dir. İstatistikçi aşağıdaki iki modeli tahmin etmiştir:

- Model I: $2$ bağımsız değişken ( $k=2$ ) içeren bu modelde Hata Kareler Toplamı (HKT) $480$ 'dir.
- Model II: Model I'e $3$ yeni bağımsız değişken daha eklenerek kurulan $5$ bağımsız değişkenli ( $k=5$ ) bu yeni modelde Hata Kareler Toplamı (HKT) $472.5$ 'e gerilemiştir.

Bu iki modelin belirleme ( $R^2$ ) ve düzeltilmiş belirleme ( $\bar{R}^2$ ) katsayılarındaki değişim incelendiğinde, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$R^2$ değeri $0.520$ 'den $0.5275$ 'e yükselmesine rağmen, $\bar{R}^2$ değeri serbestlik derecesi kaybı nedeniyle $0.500$ 'den $0.475$ 'e düşmüştür.Cevap
B
Modele yeni bağımsız değişkenler eklendikçe açıklanan varyans payı zorunlu olarak artacağından, $\bar{R}^2$ değeri de artış göstererek $0.5275$ 'e ulaşmıştır.
C
Hata varyansı tahmini için Hata Kareler Toplamı doğrudan gözlem sayısına bölündüğünden, her iki model için hesaplanan $\bar{R}^2$ değerleri sırasıyla $0.520$ ve $0.5275$ olmuştur.
D
Sabit terimsiz modele geçildiğine dair bir bulgu olmamakla birlikte, Model II orijinden geçen regresyona dönüştürülseydi elde edilecek $\bar{R}^2$ değeri, Model I ile güvenle kıyaslanabilirdi.
E
Modele açıklayıcılığı düşük değişkenlerin dâhil edilmesi EKK tahmincilerinde doğrudan sapmaya yol açtığı için, Model II'nin her iki katsayısı da Model I'in gerisinde kalmıştır.

Cevap

Model II'de R² değeri artış göstermesine karşın, serbestlik derecesindeki azalmayı kompanse edecek kadar HKT düşmediğinden Düzeltilmiş R² değeri azalmıştır.

Doğru ifadede, R²'nin Model II'de 0.5275 değerine matematiksel olarak artmasına karşın, Düzeltilmiş R²'nin hesaplanmasında kullanılan serbestlik derecesinin Model I'de 48, Model II'de 45 olması sebebiyle, hata varyansı tahmininin (MSE) arttığı ve bu nedenle Düzeltilmiş R²'nin 0.475'e düştüğü doğru biçimde belirtilmiştir. Bu durum, eklenen yeni değişkenlerin modele anlamlı bir açıklayıcılık katmadığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

Her iki model için Belirleme Katsayısı (R²) değerlerini hesaplayın.

Model I: R² = 1 - (480 / 1000) = 0.520. Model II: R² = 1 - (472.5 / 1000) = 0.5275.

R² değeri, modelin açıkladığı varyans oranını gösterir ve HKT'nin GKT'ye oranının 1'den çıkarılmasıyla bulunur.

Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı (R̄²) formülünü hatırlayın.

R̄² = 1 - [ (HKT / (n - k - 1)) / (GKT / (n - 1)) ]

Düzeltilmiş R², modele eklenen her yeni bağımsız değişken için serbestlik derecesi üzerinden bir ceza uygulayarak model karmaşıklığını dengeler.

Genel Kareler Toplamı'nın varyans tahminini hesaplayın.

GKT / (n - 1) = 1000 / (51 - 1) = 1000 / 50 = 20.

Bu değer her iki modelin Düzeltilmiş R² hesabında ortak olan payda kısmıdır.

Model I için R̄² değerini hesaplayın.

Hata serbestlik derecesi = 51 - 2 - 1 = 48. R̄² = 1 - [ (480 / 48) / 20 ] = 1 - (10 / 20) = 1 - 0.500 = 0.500.

Model I'in açıklama gücünün serbestlik derecesi dikkate alınarak düzeltilmiş halini bulmak için.

Model II için R̄² değerini hesaplayın ve karşılaştırın.

Hata serbestlik derecesi = 51 - 5 - 1 = 45. R̄² = 1 - [ (472.5 / 45) / 20 ] = 1 - (10.5 / 20) = 1 - 0.525 = 0.475.

Yeni değişkenlerin eklenmesiyle R² artmasına rağmen, R̄² 0.500'den 0.475'e düşmüştür.

Anahtar Kavram

Çoklu regresyon modeline yeni değişken eklendiğinde R² daima artar veya sabit kalır. Ancak yeni değişkenin Hata Kareler Toplamını (HKT) düşürme oranı, kaybedilen serbestlik derecesinden daha az ise Düzeltilmiş R² (R̄²) düşer.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular