Examkin

Soru

Zorluk: KolayBasit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bir tekstil işletmesinde paketlenmiş halde bulunan N=500N = 500 adet kumaş topunun toplam ağırlığını tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=50n = 50 adet kumaş topu seçilmiştir. Yapılan ölçümler sonucunda örneklem ortalaması yˉ=100\bar{y} = 100 kg ve örneklem varyansı s2=500s^2 = 500 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kumaş toplarının kitle toplam ağırlığı (τ\tau) için %95 güven düzeyinde oluşturulacak güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Not: Z0,025≈2Z_{0,025} \approx 2 alınız.)

  1. 47.000 - 53.000Cevap
  2. B
    46.838 - 53.162
  3. C
    49.700 - 50.300
  4. D
    48.500 - 51.500
  5. E
    94 - 106

Cevap

47.000 - 53.000 aralığı doğru güven aralığını ifade eder.
Kitle toplamı için güven aralığı hesaplanırken, örneklem ortalaması kitle hacmiyle çarpılarak nokta tahmini (50.00050.000) elde edilir. Varyans hesaplanırken SKD (0,90,9) dahil edilerek bulunan 99 değeri, N2N^2 (250.000250.000) ile çarpılır ve standart hata 15001500 olarak bulunur. %95 güven düzeyi için Z=2Z=2 değeriyle genişletilen hata payı 30003000 birim olup, doğru aralık 47.000−53.00047.000 - 53.000 şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Örnekleme kesrinin (ff) hesaplanması ve SKD kararının verilmesi
f=n/N=50/500=0,10f = n/N = 50/500 = 0,10.
f>0,05f > 0,05 olduğu için iadesiz seçimde Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) kullanılmalıdır.
2
Kitle ortalamasının varyans tahmininin (ar(\bar{y})) hesaplanması
ar(\bar{y}) = \frac{s^2}{n} (1 - f) = \frac{500}{50} (1 - 0,1) = 10 \times 0,9 = 9.
Güven aralığı sınırlarını belirlemek için öncelikle ortalamanın standart hatasına ihtiyaç duyulur.
3
Kitle toplamı tahmininin (τ^\hat{\tau}) ve varyansının (ar(\hat{\tau})) hesaplanması
τ^=N⋅yˉ=500⋅100=50.000\hat{\tau} = N \cdot \bar{y} = 500 \cdot 100 = 50.000; ar(\hat{\tau}) = N^2 \cdot ar(\bar{y}) = 500^2 \cdot 9 = 2.250.000.
Kitle toplamı için güven aralığı kurulurken toplamın standart hatası (SE=2.250.000=1500SE = \sqrt{2.250.000} = 1500) kullanılmalıdır.
4
Güven aralığı sınırlarının belirlenmesi
50.000±2⋅1500⇒50.000±300050.000 \pm 2 \cdot 1500 \Rightarrow 50.000 \pm 3000.
Alt sınır 47.00047.000, üst sınır 53.00053.000 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

İadesiz basit rastgele örneklemede kitle toplamı için güven aralığı oluşturulurken sonlu kitle düzeltme çarpanı ve kitle hacminin karesi (N2N^2) dikkate alınmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru