Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTersinirlik Kavramı ve Koşulları

Zaman serisi modellerinde MA(q) süreçleri her zaman durağan olmasına rağmen, modelin geçmiş gözlemler cinsinden bir sonsuz AR süreci olarak ifade edilebilmesi için 'tersinirlik' (invertibility) koşulunu sağlaması gerekir. ϵt∼WN(0,σ2)\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) olmak üzere,

Xt=ϵt−θ1ϵt−1−θ2ϵt−2X_t = \epsilon_t - \theta_1 \epsilon_{t-1} - \theta_2 \epsilon_{t-2}

şeklinde tanımlanan bir MA(2) sürecinin tersinir olması için aşağıdakilerden hangisi gerekli bir koşul değildir?

  1. A
    θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1
  2. B
    θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1
  3. C
    ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1
  4. ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1Cevap
  5. E
    Gecikme polinomu θ(L)=1−θ1L−θ2L2=0\theta(L) = 1 - \theta_1 L - \theta_2 L^2 = 0 denkleminin köklerinin birim çemberin dışında kalması

Cevap

MA(2) süreci için |θ₁| < 1 koşulu gerekli değildir; bu parametre -2 ile 2 aralığında değer alabilir.
MA(2) süreci için tersinirlik bölgesi parametre düzleminde bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin sınırları θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1 ve ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1 eşitsizlikleri ile belirlenir. Bu sınırlar dahilinde θ1\theta_1 katsayısının mutlak değeri 1'den büyük olabilir (örneğin θ1=1,5\theta_1 = 1,5 ve θ2=−0,6\theta_2 = -0,6 değerleri tersinirlik koşullarını sağlar). Dolayısıyla, mutlak değerce 1'den küçük olma şartı MA(1) için geçerli olsa da MA(2) için genel bir zorunluluk değildir.

Adım Adım Çözüm

1
MA(2) modelinin gecikme operatörü cinsinden ifadesini yazma
Xt=(1−θ1L−θ2L2)ϵtX_t = (1 - \theta_1 L - \theta_2 L^2)\epsilon_t
Tersinirlik analizi, modelin hata terimi üzerindeki operatör polinomu üzerinden yapılır.
2
Tersinirlik tanımını uygulama
1−θ1z−θ2z2=01 - \theta_1 z - \theta_2 z^2 = 0 denkleminin kökleri ∣z∣>1|z| > 1 olmalıdır.
Bir MA sürecinin tersinir olması için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir.
3
Köklerin birim çember dışında olması için gereken katsayı kısıtlarını (Schur-Cohn koşulları) belirleme
1) θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, 2) θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1, 3) ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1
İkinci dereceden polinomlar için köklerin birim çember dışında kalması bu üç eşitsizliğin aynı anda sağlanmasına bağlıdır (Tersinirlik Üçgeni).
4
Parametre sınırlarını kontrol etme
θ1\theta_1 parametresi (−2,2)(-2, 2) aralığında, θ2\theta_2 parametresi ise (−1,1)(-1, 1) aralığında değerler alabilir.
Üçgenin köşeleri (−2,−1)(-2, -1), (2,−1)(2, -1) ve (0,1)(0, 1) noktalarıdır. Dolayısıyla ∣θ1∣<1|\theta_1| < 1 olma zorunluluğu yoktur.

Anahtar Kavram

Tersinirlik Üçgeni (Invertibility Triangle)

İpuçları

1
MA(1) sürecinde tersinirlik için tek bir parametre kısıtı varken, MA(2) sürecinde iki parametrenin birbirine bağlı olduğu üç farklı eşitsizlik vardır.
2
Tersinirlik bölgesi (\theta_1, \theta_2) düzleminde bir üçgen şeklindedir. Bu üçgenin tabanı \theta_2 = -1 doğrusu üzerindedir ve \theta_1 ekseninde -2'den 2'ye kadar uzanır.
3
(\theta_1 = 1,2; \theta_2 = -0,5) gibi bir değer kümesinin tersinirlik koşullarını (A, B ve C şıkları) sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

ARMA(1,1) modellerinde durağanlık kısıtının AR parametresine, tersinirlik kısıtının ise MA parametresine ait olduğunu pekiştiren sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

MA(2) tersinirlik üçgenini çizerek (\theta_1, \theta_2) düzlemindeki sınırları görselleştirmek, hangi parametrenin hangi aralıkta kalabileceğini daha net görmenizi sağlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tersinirlik Kavramı ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru