Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir limanda özel bir yükü tahliye etmek için tek bir vinç istasyonu bulunmaktadır. Limana bu yükü taşıyan gemilerin varışları haftada ortalama 55 gemi olacak şekilde Poisson dağılımına uymakta ve vincin gemileri tahliye etme süresi haftada ortalama 55 gemi olacak şekilde üstel dağılım göstermektedir.

Limanın fiziksel kısıtları ve güvenlik prosedürleri gereği, tahliye işlemi devam eden gemi dâhil olmak üzere liman sahasında aynı anda en fazla 33 geminin bulunmasına izin verilmektedir. Kapasite dolu olduğunda limana gelen gemiler bekleme yapmadan başka limanlara yönlendirilmektedir.

Buna göre, bu liman sistemi için efektif (sisteme girmeyi başaran) varış hızı (λeff\lambda_{eff}) haftada kaç gemidir?

  1. A
    1,251,25
  2. B
    1,501,50
  3. 3,753,75Cevap
  4. D
    4,004,00
  5. E
    5,005,00

Cevap

Limanın efektif varış hızı haftada 3,75 gemidir.
Verilen (M/M/1/K) kuyruk modelinde varış hızı (λ=5\lambda=5) ve hizmet hızı (μ=5\mu=5) birbirine eşit olduğundan trafik yoğunluğu ρ=1\rho = 1'dir. Bu özel durumda sistemin dolu olma olasılığı PK=1K+1P_K = \frac{1}{K+1} formülü ile hesaplanır. K=3K=3 kapasiteli bu sistemde P3=14=0,25P_3 = \frac{1}{4} = 0,25 olarak bulunur. Efektif varış hızı, gelen birimlerin sisteme girme ihtimali ile nominal varış hızının çarpımıdır: λeff=λ×(1−PK)=5×(1−0,25)=3,75\lambda_{eff} = \lambda \times (1 - P_K) = 5 \times (1 - 0,25) = 3,75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda), hizmet hızı (μ\mu) ve kapasite (KK) parametrelerini belirle.
λ=5\lambda = 5 gemi/hafta, μ=5\mu = 5 gemi/hafta, K=3K = 3 gemi.
Kuyruk modelinin türünü ve kullanılacak formülleri belirlemek için temel parametrelere ihtiyaç vardır.
2
Trafik yoğunluğunu (ρ\rho) hesapla.
ρ=λμ=55=1\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{5}{5} = 1
(M/M/1/K) modellerinde ρ=1\rho = 1 olması durumunda özel formüller kullanılması gerekir.
3
Sistemin dolu olma (engellenme) olasılığını (PKP_K) hesapla.
ρ=1\rho = 1 olduğu için, PK=1K+1=13+1=14=0,25P_K = \frac{1}{K+1} = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4} = 0,25 bulunur.
Gelen bir geminin sisteme girebilmesi için sistemin dolu olmaması gerekir. Bu yüzden engellenme olasılığının bulunması şarttır.
4
Efektif varış hızını (λeff\lambda_{eff}) hesapla.
λeff=λ×(1−PK)=5×(1−0,25)=5×0,75=3,75\lambda_{eff} = \lambda \times (1 - P_K) = 5 \times (1 - 0,25) = 5 \times 0,75 = 3,75 gemi/hafta.
Sisteme sadece kapasite dolu olmadığında gelen gemiler girebilir, bu yüzden nominal varış hızı (1−PK)(1 - P_K) oranıyla çarpılarak efektif varış hızı elde edilir.

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) modelinde ρ=1\rho=1 durumunda engellenme olasılığı ve efektif varış hızı hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru