Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRao-Blackwell Teoremi

Bir kamu Ar-Ge laboratuvarında ölçülen bir fiziksel büyüklüğün, θ\theta ortalamalı ve varyansı 11 birim olan normal dağılıma (N(θ,1)N(\theta, 1)) sahip olduğu bilinmektedir. Bu laboratuvarda gerçekleştirilen iki bağımsız gözlem X1X_1 ve X2X_2 olarak kaydedilmiştir. θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla başlangıçta T=X1T = X_1 tahmin edicisi önerilmiştir. Rao-Blackwell Teoremi yardımıyla, S=X1+X2S = X_1 + X_2 yeterli istatistiği kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

  1. X1+X22\frac{X_1 + X_2}{2}Cevap
  2. B
    X1+X2X_1 + X_2
  3. C
    X1X_1
  4. D
    2(X1+X2)2(X_1 + X_2)
  5. E
    X1+X24\frac{X_1 + X_2}{4}

Cevap

Rao-Blackwell Teoremi uygulanarak elde edilen iyileştirilmiş tahmin edici gözlemlerin ortalaması olan X1+X22\frac{X_1 + X_2}{2} ifadesidir.
Verilen iki gözlem için toplamın yeterli istatistik olduğu normal dağılımda, X1X_1 tahmin edicisinin X1+X2X_1+X_2 toplamı üzerindeki koşullu beklenen değeri Xˉ=(X1+X2)/2\bar{X} = (X_1+X_2)/2 sonucunu verir. Bu tahmin edici hala yansızdır ve varyansı (1/21/2), orijinal tahmin edicinin varyansından (11) daha küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç tahmin edicisinin yansızlığını kontrol etme.
E[T]=E[X1]=θE[T] = E[X_1] = \theta
Teoremin uygulanabilmesi için başlangıç tahmin edicisinin yansız olması gerekir.
2
Rao-Blackwell formülünü kurma.
T∗=E[T∣S]=E[X1∣X1+X2]T^* = E[T | S] = E[X_1 | X_1 + X_2]
Rao-Blackwell Teoremi, yeterli istatistik üzerine koşullandırma yaparak varyansı azaltır.
3
Koşullu beklenen değeri hesaplama.
E[X1∣X1+X2=s]=s2=X1+X22E[X_1 | X_1 + X_2 = s] = \frac{s}{2} = \frac{X_1 + X_2}{2}
Normal dağılımın simetrisi ve bağımsız i.i.d. gözlemlerin toplamı verildiğinde, her bir gözlemin toplamdaki payı eşittir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi, yansız bir tahmin ediciyi yeterli bir istatistik üzerine koşullandırarak varyansı daha düşük (veya eşit) olan yeni bir yansız tahmin edici üretir.

İpuçları

1
Yeni tahmin edicinin de θ\theta için yansız olması gerektiğini unutmayın.
2
E[X1+X2]=2θE[X_1 + X_2] = 2\theta olduğunu kullanarak, hangi katsayının yansızlığı sağlayacağını düşünün.
3
Normal dağılımda E[X1∣X1+X2=s]E[X_1 | X_1+X_2=s] değeri, toplamın örneklem sayısına bölümüyle elde edilen örneklem ortalamasına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Bu tahmin edicinin varyansını T=X1T=X_1 tahmin edicisinin varyansı ile kıyaslayarak iyileşme miktarını hesaplayınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru