Examkin

Soru

Zorluk: ZorDualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bir tedarik zinciri ağının optimizasyonu için geliştirilen doğrusal programlama primal modeli aşağıda verilmiştir:

Maksimum Z=9x1−6x2+4x3Kısıtlar:3x1+2x2−5x3≤40x1−3x2+2x3≥15\begin{aligned} \text{Maksimum } Z &= 9x_1 - 6x_2 + 4x_3 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 3x_1 + 2x_2 - 5x_3 &\leq 40 \\ x_1 - 3x_2 + 2x_3 &\geq 15 \end{aligned}
İşaret Kısıtlamaları:
x1≥0x2 is¸areti serbest (urs)x3≤0\begin{aligned} x_1 &\geq 0 \\ x_2 &\text{ işareti serbest (urs)} \\ x_3 &\leq 0 \end{aligned}

Bu primal modele karşılık gelen dual model aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

  1. A
    Minimum W=40y1+15y23y1+y2≥92y1−3y2≥−6−5y1+2y2≥4y1≥0, y2≥0\begin{aligned} \text{Minimum } W &= 40y_1 + 15y_2 \\ 3y_1 + y_2 &\geq 9 \\ 2y_1 - 3y_2 &\geq -6 \\ -5y_1 + 2y_2 &\geq 4 \\ y_1 &\geq 0, \ y_2 \geq 0 \end{aligned}
  2. B
    Minimum W=40y1+15y23y1+y2≥92y1−3y2=−6−5y1+2y2≤4y1≤0, y2≥0\begin{aligned} \text{Minimum } W &= 40y_1 + 15y_2 \\ 3y_1 + y_2 &\geq 9 \\ 2y_1 - 3y_2 &= -6 \\ -5y_1 + 2y_2 &\leq 4 \\ y_1 &\leq 0, \ y_2 \geq 0 \end{aligned}
  3. Minimum W=40y1+15y23y1+y2≥92y1−3y2=−6−5y1+2y2≤4y1≥0, y2≤0\begin{aligned} \text{Minimum } W &= 40y_1 + 15y_2 \\ 3y_1 + y_2 &\geq 9 \\ 2y_1 - 3y_2 &= -6 \\ -5y_1 + 2y_2 &\leq 4 \\ y_1 &\geq 0, \ y_2 \leq 0 \end{aligned}Cevap
  4. D
    Minimum W=40y1+15y23y1+y2≥92y1−3y2≤−6−5y1+2y2≥4y1≥0, y2 is¸areti serbest\begin{aligned} \text{Minimum } W &= 40y_1 + 15y_2 \\ 3y_1 + y_2 &\geq 9 \\ 2y_1 - 3y_2 &\leq -6 \\ -5y_1 + 2y_2 &\geq 4 \\ y_1 &\geq 0, \ y_2 \text{ işareti serbest} \end{aligned}
  5. E
    Minimum W=40y1+15y23y1+y2≤92y1−3y2=−6−5y1+2y2≥4y1≥0, y2≤0\begin{aligned} \text{Minimum } W &= 40y_1 + 15y_2 \\ 3y_1 + y_2 &\leq 9 \\ 2y_1 - 3y_2 &= -6 \\ -5y_1 + 2y_2 &\geq 4 \\ y_1 &\geq 0, \ y_2 \leq 0 \end{aligned}

Cevap

Doğru dual modelde; amaç fonksiyonu Minimum W = 40y1 + 15y2 olmalı, dual kısıtlar sırasıyla büyük eşit, eşit ve küçük eşit yönlerinde olmalı ve dual değişkenlerden ilki sıfırdan büyük eşit, ikincisi ise sıfırdan küçük eşit olmalıdır.
Primal model bir maksimum problemidir. Bu nedenle dual model minimum problemi olacaktır. Primal kısıtların sağ taraf sabitleri (40 ve 15) dual amaç fonksiyonunun katsayılarıdır: Min W = 40y1 + 15y2. Dual değişkenlerin işaretleri primal kısıtların yönüne göre belirlenir: 1. kısıt (<=) standart olduğu için y1>=0, 2. kısıt (>=) standart dışı olduğu için y2<=0 olur. Dual yapısal kısıtların yönleri ise primal değişkenlerin işaretlerine göre belirlenir: x1>=0 (standart) olduğundan 1. kısıt >=, x2 işareti serbest olduğundan 2. kısıt =, x3<=0 olduğundan 3. kısıt <= olur. Primal modelin katsayı matrisinin transpozu alınarak bu kurallar uygulandığında doğru model elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Amaç fonksiyonunu dönüştürme
Minimum W=40y1+15y2\text{Minimum } W = 40y_1 + 15y_2
Primal model 'Maksimum' olduğundan dual model 'Minimum' olur. Primal kısıtların sağ taraf sabitleri (40 ve 15), dual amaç fonksiyonunun katsayılarına dönüşür.
2
Dual değişkenlerin işaret kısıtlamalarını belirleme
y1≥0, y2≤0y_1 \geq 0, \ y_2 \leq 0
Maksimum primal modelde; 1. kısıt (<=) standart yönde olduğu için y1≥0y_1 \geq 0 olur. 2. kısıt (>=) standart dışı (ters) yönde olduğu için y2≤0y_2 \leq 0 olur.
3
Dual yapısal kısıtların yönlerini belirleme
1. Kısıt: ≥\geq, 2. Kısıt: ==, 3. Kısıt: ≤\leq
Minimum dual modelde; x1≥0x_1 \geq 0 (standart) olduğu için 1. kısıt ≥\geq olur. x2x_2 işareti serbest olduğu için 2. kısıt == olur. x3≤0x_3 \leq 0 (ters) olduğu için 3. kısıt ≤\leq olur.
4
Katsayı matrisinin transpozunu alarak kısıtları yazma
3y1+y2≥93y_1 + y_2 \geq 9, 2y1−3y2=−62y_1 - 3y_2 = -6, −5y1+2y2≤4-5y_1 + 2y_2 \leq 4
Primal modeldeki değişken katsayıları sütunlardan satırlara dönüştürülür ve primal amaç fonksiyonu katsayıları (9, -6, 4) dual kısıtların sağ taraf sabiti yapılarak model tamamlanır.

Anahtar Kavram

Dualite Kavramı ve Primal-Dual Dönüşüm Kuralları
Bu soruyu puanla

Konular

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bu konudan daha fazla soru