Examkin

Soru

Zorluk: ZorTersinirlik Kavramı ve Koşulları

Zaman serisi analizinde ϵt∼WN(0,σ2)\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) beyaz gürültü sürecini temsil etmek üzere, ikinci dereceden bir hareketli ortalama modeli (MA(2)) aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

Xt=ϵt+2kϵt−1+kϵt−2X_t = \epsilon_t + 2k \epsilon_{t-1} + k \epsilon_{t-2}

Bu sürecin tersinir (invertible) bir süreç olabilmesi için kk parametresinin sağlaması gereken en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −13<k<1-\frac{1}{3} < k < 1Cevap
  2. B
    −1<k<1-1 < k < 1
  3. C
    −1<k<13-1 < k < \frac{1}{3}
  4. D
    −13<k<13-\frac{1}{3} < k < \frac{1}{3}
  5. E
    −12<k<12-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}

Cevap

Modelin tersinir olabilmesi için kk parametresinin −13<k<1-\frac{1}{3} < k < 1 aralığında olması gerekir.
Verilen ikinci dereceden hareketli ortalama modelinin (MA(2)) tersinir olabilmesi için, katsayıları olan θ1=2k\theta_1 = 2k ve θ2=k\theta_2 = k'nın tersinirlik üçgeni koşullarını eşanlı sağlaması gerekir. Bu koşullar θ1+θ2>−1\theta_1 + \theta_2 > -1, θ2−θ1>−1\theta_2 - \theta_1 > -1 ve −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1'dir. Katsayılar yerine konduğunda sırasıyla 3k>−13k > -1, −k>−1-k > -1 (k<1k < 1) ve −1<k<1-1 < k < 1 eşitsizlikleri elde edilir. Bu üç eşitsizliğin ortak sağlandığı tek aralık −13<k<1-\frac{1}{3} < k < 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen modelin standart MA(2) notasyonuyla ifade edilmesi ve katsayıların belirlenmesi.
Model Xt=ϵt+θ1ϵt−1+θ2ϵt−2X_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} formatındadır. Buradan katsayılar θ1=2k\theta_1 = 2k ve θ2=k\theta_2 = k olarak belirlenir.
Tersinirlik koşullarını uygulayabilmek için katsayıların doğru bir şekilde tanımlanması gerekir.
2
MA(2) süreçleri için karakteristik denkleme bağlı gerekli ve yeterli tersinirlik koşullarının yazılması.
Tersinirlik (invertibility) üçgenini tanımlayan koşullar şunlardır: 1) θ1+θ2>−1\theta_1 + \theta_2 > -1, 2) θ2−θ1>−1\theta_2 - \theta_1 > -1, 3) −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1.
Bir MA sürecinin geçmiş gözlemler cinsinden sonsuz bir AR sürecine dönüştürülebilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması matematiksel zorunluluktur.
3
Bulunan katsayıların birinci eşitsizlik koşuluna uygulanması.
θ1+θ2>−1⇒2k+k>−1⇒3k>−1⇒k>−13\theta_1 + \theta_2 > -1 \Rightarrow 2k + k > -1 \Rightarrow 3k > -1 \Rightarrow k > -\frac{1}{3}.
Tersinirlik bölgesinin ilk sınırını belirlemek.
4
Bulunan katsayıların ikinci ve üçüncü eşitsizlik koşullarına uygulanması.
İkinci koşul: θ2−θ1>−1⇒k−2k>−1⇒−k>−1⇒k<1\theta_2 - \theta_1 > -1 \Rightarrow k - 2k > -1 \Rightarrow -k > -1 \Rightarrow k < 1. Üçüncü koşul: −1<θ2<1⇒−1<k<1-1 < \theta_2 < 1 \Rightarrow -1 < k < 1.
Tersinirlik bölgesinin diğer sınırlarını belirlemek.
5
Tüm eşitsizliklerin kesişim kümesinin (ortak çözümünün) bulunması.
k>−13k > -\frac{1}{3}, k<1k < 1 ve −1<k<1-1 < k < 1 eşitsizliklerinin üçünü birden sağlayan en geniş aralık −13<k<1-\frac{1}{3} < k < 1 olarak bulunur.
Karakteristik denklemin tüm köklerinin birim çember dışında kalmasını garanti eden tek çözüm aralığı bu kesişim kümesidir.

Anahtar Kavram

MA(2) Modellerinde Tersinirlik (Invertibility) Koşulları
Bu soruyu puanla

Konular

Tersinirlik Kavramı ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru