Examkin

Soru

Zorluk: OrtaWiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Bir stokastik süreç modelinde, {Xt}t≥0\{X_t\}_{t \geq 0} başlangıç değeri X0=0X_0 = 0 olan standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olarak tanımlanmaktadır.

Buna göre, sürecin t=2t = 2 anındaki konumu olan X2X_2 ile t=8t = 8 anındaki konumu olan X8X_8 rastgele değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı kaçtır?

  1. A
    00
  2. B
    18\frac{1}{8}
  3. C
    14\frac{1}{4}
  4. 12\frac{1}{2}Cevap
  5. E
    11

Cevap

Standart Wiener sürecinin kovaryans ve varyans özelliklerine göre hesaplanan korelasyon katsayısı 12\frac{1}{2}'dir.
Standart Wiener sürecinde Cov(Xt,Xs)=min⁡(t,s)Cov(X_t, X_s) = \min(t, s) özelliğinden hareketle Cov(X2,X8)=2Cov(X_2, X_8) = 2 olarak elde edilir. Aynı sürecin varyans özelliği Var(Xt)=tVar(X_t) = t olduğundan, Var(X2)=2Var(X_2) = 2 ve Var(X8)=8Var(X_8) = 8 değerleri bulunur. Tüm bu değerler korelasyon formülünde yerine konulduğunda ρ=22×8=24=12\rho = \frac{2}{\sqrt{2 \times 8}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
X2X_2 ve X8X_8 rastgele değişkenlerinin kovaryansını hesaplama.
Cov(X2,X8)=min⁡(2,8)=2Cov(X_2, X_8) = \min(2, 8) = 2
Standart Wiener sürecinde ss ve tt zamanlarındaki iki noktanın kovaryansı, her zaman zamanların minimum olanına min⁡(s,t)\min(s, t) eşittir.
2
Değişkenlerin varyanslarını belirleme.
Var(X2)=2Var(X_2) = 2 ve Var(X8)=8Var(X_8) = 8
Standart Wiener sürecinin tanımı gereği, herhangi bir tt anındaki rastgele değişkenin varyansı zamana (Var(Xt)=tVar(X_t) = t) eşittir.
3
Korelasyon katsayısı formülünü uygulama.
ρ(X2,X8)=Cov(X2,X8)Var(X2)×Var(X8)=22×8=216=24=12\rho(X_2, X_8) = \frac{Cov(X_2, X_8)}{\sqrt{Var(X_2) \times Var(X_8)}} = \frac{2}{\sqrt{2 \times 8}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
İki rastgele değişken arasındaki korelasyon katsayısı, kovaryanslarının standart sapmalarının çarpımına oranlanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Standart Wiener sürecinde kovaryans ve korelasyon katsayısı ilişkisi

Alternatif Yöntem

X8X_8 değeri bağımsız artışlar kuralıyla X8=X2+(X8−X2)X_8 = X_2 + (X_8 - X_2) şeklinde parçalanabilir. Buradan kovaryans işlemi dağıtılarak Cov(X2,X8)=Cov(X2,X2)+Cov(X2,X8−X2)Cov(X_2, X_8) = Cov(X_2, X_2) + Cov(X_2, X_8 - X_2) yazılır. Artışlar bağımsız olduğu için ikinci terim sıfırdır. Böylece Cov(X2,X8)=Var(X2)=2Cov(X_2, X_8) = Var(X_2) = 2 sonucuna çok daha pratik ve sezgisel bir şekilde varılabilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Wiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Bu konudan daha fazla soru