Examkin

Soru

Zorluk: Zor(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir gümrük müdürlüğünün ithalat denetim peronunda tek bir kontrol memuru görev yapmaktadır. Güvenlik ve alan kısıtlamaları nedeniyle peronda (biri denetimde, diğerleri kuyrukta bekleyen olmak üzere) en fazla 44 tırın bulunmasına izin verilmektedir. Peronda 44 tır varken gelen yeni tırlar başka bir kapıya yönlendirilmekte ve perona alınmamaktadır.

Tırların perona gelişleri saatte ortalama 66 araç olacak şekilde Poisson dağılımına uymakta, bir tırın denetim süresi ise ortalama 1010 dakika sürmekte ve üstel dağılım göstermektedir.

Buna göre; sistemin tamamen dolu olma olasılığı (PKP_K), kuyrukta bekleyen ortalama tır sayısı (LqL_q) ve bir tırın peronda geçirdiği ortalama toplam süre (WW) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

  1. 15\frac{1}{5}, 65\frac{6}{5} tır, 2525 dakikaCevap
  2. B
    15\frac{1}{5}, 65\frac{6}{5} tır, 2020 dakika
  3. C
    15\frac{1}{5}, 22 tır, 1515 dakika
  4. D
    14\frac{1}{4}, 54\frac{5}{4} tır, 2525 dakika
  5. E
    16\frac{1}{6}, 53\frac{5}{3} tır, 3030 dakika

Cevap

Sistemin dolu olma olasılığı 15\frac{1}{5}, kuyruktaki ortalama tır sayısı 65\frac{6}{5} ve sistemde geçirilen ortalama süre 2525 dakikadır.
Sistem kapasitesi K=4K=4 ve trafik yoğunluğu ρ=λμ=66=1\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{6}{6} = 1 olduğundan sistemin dolu olma olasılığı P4=1K+1=15P_4 = \frac{1}{K+1} = \frac{1}{5}'tir. Sistemdeki ortalama tır sayısı L=K2=2L = \frac{K}{2} = 2 olup, buradan kuyruk uzunluğu Lq=L−(1−P0)=2−45=65L_q = L - (1-P_0) = 2 - \frac{4}{5} = \frac{6}{5} bulunur. Efektif varış hızı λeff=λ(1−P4)=6⋅45=4.8\lambda_{eff} = \lambda(1-P_4) = 6 \cdot \frac{4}{5} = 4.8 tır/saat'tir. Little Teoremine göre sistemde geçirilen süre W=Lλeff=24.8=512W = \frac{L}{\lambda_{eff}} = \frac{2}{4.8} = \frac{5}{12} saat, yani 2525 dakikadır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış ve hizmet hızlarını (λ,μ\lambda, \mu) aynı zaman biriminde ifade edip trafik yoğunluğunu (ρ\rho) hesaplamak.
λ=6\lambda = 6 tır/saat. Bir denetim 1010 dakika sürdüğünden saatte μ=6010=6\mu = \frac{60}{10} = 6 tır/saat hizmet verilir. Trafik yoğunluğu ρ=λμ=66=1\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{6}{6} = 1 bulunur.
Kuyruk modelinde kullanılacak doğru matematiksel formül setini (ρ=1\rho=1 durumu) belirlemek için.
2
ρ=1\rho=1 durumu için sistemin tam dolu olma olasılığını (PKP_K) hesaplamak.
Sistem kapasitesi K=4K=4'tür. ρ=1\rho=1 olduğunda tüm durumların olasılıkları eşittir (Pn=1K+1P_n = \frac{1}{K+1}). Buradan P4=14+1=15P_4 = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5} elde edilir.
Sisteme giriş yapamayıp yönlendirilen tırların oranını ve efektif varış hızını bulabilmek için.
3
Sistemdeki (LL) ve kuyruktaki (LqL_q) ortalama tır sayısını hesaplamak.
ρ=1\rho=1 için sistemdeki tır sayısı L=K2=42=2L = \frac{K}{2} = \frac{4}{2} = 2 tırdır. Kuyruktaki tır sayısı: Lq=L−(1−P0)=2−(1−15)=2−45=65L_q = L - (1-P_0) = 2 - (1 - \frac{1}{5}) = 2 - \frac{4}{5} = \frac{6}{5} tır.
Sistem performans ölçütlerini elde etmek ve Little teoremine girdi sağlamak için.
4
Sisteme girmeyi başaran efektif varış hızını (λeff\lambda_{eff}) belirlemek.
λeff=λ⋅(1−P4)=6⋅(1−15)=6⋅45=245=4.8\lambda_{eff} = \lambda \cdot (1 - P_4) = 6 \cdot (1 - \frac{1}{5}) = 6 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} = 4.8 tır/saat.
Sonlu kapasiteli modellerde bekleme süreleri hesaplanırken nominal varış hızı yerine sadece sisteme kabul edilen tırların hızı dikkate alınmalıdır.
5
Bir tırın sistemde geçirdiği ortalama süreyi (WW) Little Teoremi ile hesaplamak.
W=Lλeff=24.8=2048=512W = \frac{L}{\lambda_{eff}} = \frac{2}{4.8} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12} saat. Dakikaya çevrildiğinde: 512⋅60=25\frac{5}{12} \cdot 60 = 25 dakika bulunur.
Sistemde geçirilen toplam süreyi bulmak için.

Anahtar Kavram

M/M/1/K Kuyruk Modelinde ρ=1\rho=1 Özel Durumu ve Efektif Varış Hızı
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru