Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir ölçüm cihazının hata payı, θ\theta bilinmeyen bir konum parametresi olmak üzere [θ,θ+1][\theta, \theta+1] aralığında düzgün (üniform) dağılım göstermektedir. Bu cihazla yapılan nn birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir şans örneklemi X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ile temsil edildiğine göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    X(n)X_{(n)}
  4. D
    X(1)X_{(1)}
  5. E
    Xˉ\bar{X}

Cevap

θ\theta parametresi için yeterli istatistik, örneklemin en küçük ve en büyük değerlerini içeren (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) ikilisidir.
Düzgün dağılımın desteği [θ,θ+1][\theta, \theta+1] olarak verildiğinde, olabilirlik fonksiyonu θ≤xi\theta \leq x_i ve xi≤θ+1x_i \leq \theta+1 koşullarının tüm gözlemler için sağlanmasını gerektirir. Bu durum θ≤X(1)\theta \leq X_{(1)} ve X(n)−1≤θX_{(n)} - 1 \leq \theta eşitsizliklerine indirgenir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu sadece bu iki istatistik ve θ\theta içeren bir fonksiyon ile gözlemlere bağlı bir fonksiyonun çarpımı olarak yazılabildiği için (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) yeterli istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve olabilirlik fonksiyonunu belirle.
L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=∏i=1nI(θ≤xi≤θ+1)L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n I(\theta \leq x_i \leq \theta+1)
Yeterli istatistiği bulmak için örneklemin birleşik dağılımını (olabilirlik) yazmak gerekir.
2
Gösterge (indicator) fonksiyonlarını düzenle.
L(θ)=I(θ≤x(1))⋅I(x(n)≤θ+1)L(\theta) = I(\theta \leq x_{(1)}) \cdot I(x_{(n)} \leq \theta+1)
Tüm xix_i değerlerinin θ\theta ile θ+1\theta+1 arasında olması, en küçük değerin θ\theta’dan büyük ve en büyük değerin θ+1\theta+1’den küçük olmasıyla eşdeğerdir.
3
İfadeleri θ\theta parametresini içerecek şekilde birleştir.
L(θ)=I(x(n)−1≤θ≤x(1))L(\theta) = I(x_{(n)}-1 \leq \theta \leq x_{(1)})
Neyman teoremine göre olabilirlik fonksiyonu g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(x), \theta) \cdot h(x) şeklinde çarpanlarına ayrılmalıdır.
4
Yeterli istatistiği tanımla.
T(X)=(X(1),X(n))T(X) = (X_{(1)}, X_{(n)})
Parametreye bağlı olan fonksiyon sadece en küçük ve en büyük değerlere bağlıdır.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Parametreye Bağlı Destek (Support)

İpuçları

1
Dağılımın tanım aralığının (desteğinin) parametreye nasıl bağlı olduğuna dikkat edin.
2
Olabilirlik fonksiyonunu yazarken her bir gözlem için I(θ≤xi≤θ+1)I(\theta \leq x_i \leq \theta+1) gösterge fonksiyonlarını kullanın.
3
Tüm gözlemlerin aralıkta olması için minimumun θ\theta'dan büyük, maksimumun ise θ+1\theta+1'den küçük olması gerektiğini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için bu istatistiğin 'tamlık' (completeness) özelliğini inceleyerek Lehmann-Scheffe teoremini uygulamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru