Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) bünyesinde çalışan bir uzman, anketörlerin veri toplama p… — KPSS İstatistik

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) bünyesinde çalışan bir uzman, anketörlerin veri toplama performansını artırmak amacıyla tasarlanan $5$ farklı eğitim programının etkilerini karşılaştırmak için tek yönlü varyans analizi (ANOVA) planlamaktadır.

Uzman, her bir eğitim programının sabit bir etkiye sahip olduğunu varsayarak doğrusal modeli $Y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij} \quad (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ şeklinde tanımlamıştır. Burada $\mu$ genel ortalamayı, $\tau_i$ ise $i$ . eğitim programının (muamelenin) sabit etkisini göstermektedir.

Buna göre, bu analizde test edilecek alternatif hipotezin ( $H_1$ ) matematiksel olarak en kesin ve tam karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?

$H_1: \sum_{i=1}^5 \tau_i^2 > 0$ Cevap
B
$H_1: \tau_1 \neq \tau_2 \neq \tau_3 \neq \tau_4 \neq \tau_5$
C
$H_1: \sigma_\tau^2 > 0$
D
$H_1: \sum_{i=1}^5 \tau_i \neq 0$
E
$H_1: \text{En az bir } i \text{ i\u00e7in } \tau_i = 0$

Cevap

Alternatif hipotezin matematiksel olarak en kesin gösterimi

H_1: \sum_{i=1}^5 \tau_i^2 > 0

şeklindedir.

Doğru yanıt olan

\sum_{i=1}^5 \tau_i^2 > 0

ifadesi, sabit etkili modelde (Model I) 'en az bir eğitim programının (muamelenin) etkisi sıfırdan farklıdır' cümlesinin kesin matematiksel karşılığıdır. Çünkü

\tau_i

değerleri gerçek sayılardır; herhangi bir

\tau_i

sıfırdan farklı olduğunda karesi pozitif olur ve kareler toplamı zorunlu olarak sıfırdan büyük çıkar. Bu eşitsizlik, ANOVA'nın alternatif hipotezinin kusursuz bir cebirsel tanımıdır.

Adım Adım Çözüm

Doğrusal modelin yapısını ve muamele etkisini (sabit model) analiz et.

Model

Y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}

olarak verilmiştir ve

\tau_i

sabit etkidir.

Hipotezlerin kitle ortalamaları (

\mu_i

) üzerinden mi yoksa muamele etkileri (

\tau_i

) üzerinden mi kurulacağını belirlemek için.

Sabit etkili model (Model I) için temel ANOVA sıfır hipotezini (

H_0

) muamele etkileri cinsinden yaz.

H_0: \tau_1 = \tau_2 = \tau_3 = \tau_4 = \tau_5 = 0

Sıfır hipotezi, hiçbir eğitim programının genel ortalamadan sapma yaratmadığını (etkisiz olduğunu) varsayar.

Sıfır hipotezinin mantıksal değili olan alternatif hipotezi (

H_1

) sözel olarak ifade et.

H_1: \text{En az bir } i \text{ i\u00e7in } \tau_i \neq 0

ANOVA'da alternatif hipotez, tüm grupların farklı olduğunu değil, sadece eşitliği bozan en az bir grubun varlığını iddia eder.

Bulunan sözel

H_1

ifadesini kesin bir matematiksel eşitsizliğe dönüştür.

Eğer en az bir

\tau_i \neq 0

ise, bu sayının karesi pozitif olacaktır (

\tau_i^2 > 0

). Diğerleri sıfır olsa bile toplamları kesinlikle sıfırdan büyük olur. Dolayısıyla

H_1: \sum_{i=1}^5 \tau_i^2 > 0

elde edilir.

Seçeneklerdeki cebirsel gösterimler arasında, 'en az biri sıfırdan farklıdır' ifadesinin yegane matematiksel karşılığını bulmak için.

Anahtar Kavram

Sabit Etkili ANOVA Modelinde Hipotezlerin Matematiksel Formülasyonu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru