Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım dairesi, şehirde hizmet veren N=400N = 400 adet halk otobüsünün bir aylık toplam biniş (validasyon) sayısını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla n=144n = 144 otobüs iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilmiş ve biniş verileri incelenmiştir.

Örnekleme sonucunda, seçilen otobüslerin bir aylık ortalama biniş sayısı yˉ=800\bar{y} = 800 ve biniş sayılarının standart sapması s=150s = 150 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, tüm otobüslerin bir aylık toplam biniş sayısı için %95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Standart normal dağılım tablo değerleri: Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 ve Z0,05=1,645Z_{0,05} = 1,645 olarak alınız.)

  1. A
    [310.200,  329.800][310.200, \; 329.800]
  2. B
    [319.608,  320.392][319.608, \; 320.392]
  3. [312.160,  327.840][312.160, \; 327.840]Cevap
  4. D
    [225.920,  414.080][225.920, \; 414.080]
  5. E
    [313.420,  326.580][313.420, \; 326.580]

Cevap

Doğru güven aralığı [312.160,  327.840][312.160, \; 327.840] sınırlarını veren seçenektir.
Verilen problemde iadesiz seçim yapılmıştır ve örneklem, kitleye oranla yeterince büyük (n/N=144/400=0,36>0,05n/N = 144/400 = 0,36 > 0,05) olduğu için Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) zorunlu olarak uygulanmalıdır. Kitle toplamı tahmini Y^=400⋅800=320.000\hat{Y} = 400 \cdot 800 = 320.000 olarak bulunur. Kitle toplamı için standart hata formülü N⋅1−f⋅snN \cdot \sqrt{1 - f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} şeklindedir. Değerler yerine konduğunda SE=400⋅0,64⋅15012=4.000SE = 400 \cdot \sqrt{0,64} \cdot \frac{150}{12} = 4.000 elde edilir. %95 güven aralığı istendiğinden Z=1,96Z = 1,96 kullanılarak hata payı E=1,96⋅4.000=7.840E = 1,96 \cdot 4.000 = 7.840 hesaplanır. Aranan güven aralığı 320.000±7.840320.000 \pm 7.840 işleminden [312.160,  327.840][312.160, \; 327.840] olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle toplamı nokta tahminini (Y^\hat{Y}) hesapla.
Y^=N⋅yˉ=400⋅800=320.000\hat{Y} = N \cdot \bar{y} = 400 \cdot 800 = 320.000
Tüm otobüslerin toplam biniş sayısını tahmin etmek için kitle büyüklüğü ile örneklem ortalaması çarpılır.
2
Örnekleme kesrini (n/Nn/N) kontrol et ve gerekirse Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (SKD) hesapla.
n/N=144/400=0,36>0,05n/N = 144 / 400 = 0,36 > 0,05 olduğundan SKD zorunludur. SKD=1−0,36=0,64=0,8SKD = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8
Örneklem büyüklüğü kitle büyüklüğünün %5'ini aştığında standart hatada düzeltme yapılması gerekir.
3
Kitle toplamının standart hatasını (SE(Y^)SE(\hat{Y})) hesapla.
SE(Y^)=N⋅SKD⋅sn=400⋅0,8⋅150144=320⋅15012=320⋅12,5=4.000SE(\hat{Y}) = N \cdot SKD \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 400 \cdot 0,8 \cdot \frac{150}{\sqrt{144}} = 320 \cdot \frac{150}{12} = 320 \cdot 12,5 = 4.000
Kitle toplamının güven aralığını belirlemek için toplamın standart hatası (varyansın karekökü) bulunmalıdır.
4
%95 güven düzeyi için hata payını (EE) hesapla ve güven aralığını oluştur.
E=Z0,025⋅SE(Y^)=1,96⋅4.000=7.840E = Z_{0,025} \cdot SE(\hat{Y}) = 1,96 \cdot 4.000 = 7.840. Güven Aralığı =320.000±7.840=[312.160,  327.840]= 320.000 \pm 7.840 = [312.160, \; 327.840]
%95 güven düzeyi çift yönlü aralık gerektirdiğinden Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 kullanılır ve tahminden çıkarılıp/toplanarak alt ve üst sınırlar belirlenir.

Anahtar Kavram

İadesiz basit rastgele örneklemede kitle toplamının güven aralığı hesabı ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) uygulaması
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru