Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Ulaştırma Bakanlığına bağlı bir otoyol kontrol merkezinde çalışan bir veri analisti, gişelerden geçen araçlar arasındaki zaman aralıklarının (sürekli bir rassal değişken), parametresi önceden λ=0.5\lambda = 0.5 olarak kesin biçimde bilinen bir üstel dağılıma uyup uymadığını incelemektedir. Analist, elindeki n=40n=40 hacimli örneklemin ampirik (gözlenen) birikimli dağılım fonksiyonu Sn(x)S_n(x) ile λ=0.5\lambda = 0.5 olan teorik birikimli dağılım fonksiyonu F0(x)F_0(x)'i karşılaştırmak için Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov (K-S) testini uygulamayı tercih eder.

Buna göre, analistin uyguladığı bu testin sıfır hipotezi (H0H_0) ve hesaplayacağı DD test istatistiği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. H0H_0 hipotezi "Örneklemin çekildiği kitle dağılımı, λ=0.5\lambda=0.5 parametreli teorik üstel dağılım ile tamamen aynıdır" şeklinde kurulur ve DD istatistiği, Sn(x)S_n(x) ile F0(x)F_0(x) fonksiyonları arasındaki mutlak farkların maksimumunu (supremum) ifade eder.Cevap
  2. B
    H0H_0 hipotezi "Gözlenen verilerin dağılımı ile teorik dağılım arasında anlamlı bir fark yoktur" biçiminde ifade edilir ve DD istatistiği, Sn(x)S_n(x) ile F0(x)F_0(x) eğrileri arasındaki tüm mutlak farkların aritmetik ortalaması alınarak hesaplanır.
  3. C
    H0H_0 hipotezi, sürekli veriler sınıflara ayrılarak her sınıf için elde edilen ampirik frekansların teorik beklenen frekanslara eşit olduğunu ileri sürer ve DD istatistiği bu frekans farklarına dayanır.
  4. D
    K-S testi parametrik olmayan yapısı gereği yalnızca normallik sınamalarında kullanılabildiğinden, üstel dağılım senaryosu için H0H_0 hipotezi test edilemez ve doğrudan Ki-kare testi tercih edilmelidir.
  5. E
    H0H_0 hipotezi kitlenin genel bir üstel dağılıma uyduğunu varsayar ve λ\lambda parametresi teorik olarak bilinmek yerine örneklem verilerinden tahmin edilerek F0(x)F_0(x) fonksiyonuna yazılsa bile testin standart tablo değerleri aynı kalır.

Cevap

H0H_0 hipotezinin, kitlenin belirli bir parametreye sahip teorik dağılımla aynı olduğunu ifade ettiği ve DD istatistiğinin gözlenen ile teorik birikimli dağılım fonksiyonları arasındaki maksimum mutlak farkı (supremum) ölçtüğünü belirten seçenektir.
Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, sürekli bir rassal değişkenin tam olarak belirtilmiş (parametreleri bilinen) teorik bir dağılıma (normal, üstel, düzgün vb.) uyumunu sınamak için geliştirilmiştir. Bu test, gözlenen (ampirik) birikimli dağılım fonksiyonu olan Sn(x)S_n(x) ile beklenen teorik birikimli dağılım fonksiyonu olan F0(x)F_0(x)'i karşılaştırır. Sıfır hipotezi (H0H_0), örneklemin geldiği kitle dağılımının söz konusu teorik dağılımla aynı olduğunu ifade eder. DD test istatistiği ise, bu iki kümülatif eğri arasındaki dikey uzaklıkların mutlak değerce en büyüğüdür (supremum). Eğer bu maksimum sapma, seçilen anlamlılık düzeyindeki kritik K-S tablo değerinden büyükse H0H_0 reddedilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinin uygulama koşullarını ve amacını belirleme.
K-S testi, sürekli bir rassal değişkenin tamamen tanımlanmış (parametreleri bilinen) bir teorik dağılıma uyup uymadığını sınar.
Senaryoda λ=0.5\lambda=0.5 parametresi kesin olarak bilinen sürekli bir veri (zaman aralıkları) yapısı bulunduğundan K-S testinin kullanım varsayımları sağlanmaktadır.
2
H0H_0 hipotezinin matematiksel tanımını doğrulama.
H0H_0 hipotezi, kitle dağılım fonksiyonunun F(x)F(x), test edilen teorik dağılım fonksiyonuna F0(x)F_0(x) her xx değeri için eşit olduğunu öne sürer.
Tüm uyum iyiliği testlerinde sıfır hipotezi her zaman "veri seti belirlenen teorik dağılımdan gelmektedir" şeklinde kurulur.
3
DD test istatistiğinin teorik hesaplanma mantığını tanımlama.
DD istatistiği, Sn(x)S_n(x) ile F0(x)F_0(x) arasındaki dikey sapmaların supremum (maksimum mutlak fark) değeridir (D=max⁡∣Sn(x)−F0(x)∣D = \max |S_n(x) - F_0(x)|).
K-S testi, ortalama veya kümülatif sapmalara değil, teorik ve ampirik birikimli dağılımlar arasındaki en uç (en büyük) dikey uzaklığın kritik değeri aşıp aşmadığına odaklanır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testinin Varsayımları ve DD İstatistiğinin Yorumlanması

Alternatif Yöntem

Veri setinin büyüklüğüne göre (örneğin n>30n>30) asimptotik yaklaşımlar sergilenebilir. Ancak test istatistiğinin hesaplanma felsefesi (DD istatistiğinin supremum olması) örneklem büyüklüğünden bağımsız olarak aynı kalır. D=max⁡∣Sn(x)−F0(x)∣D = \max |S_n(x) - F_0(x)| formülasyonu testin kalbidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Bu konudan daha fazla soru