Tarımsal bir araştırmada, belirli bir gübre miktarının (X) ürün rekoltesi (Y) üzerindeki a… — KPSS İstatistik

Tarımsal bir araştırmada, belirli bir gübre miktarının ( $X$ ) ürün rekoltesi ( $Y$ ) üzerindeki azalan marjinal verilerini modellemek isteyen bir uzman, teorik ilişkiyi tanımlamak için iki farklı stokastik veri üretme süreci önermiştir:

Model I: $Y_i = \beta_1 X_i^{\beta_2} e^{u_i}$
Model II: $Y_i = \alpha_1 X_i^{\alpha_2} + v_i$

Uzman, bu modelleri En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edebilmek için değişkenlere matematiksel dönüşüm (transformasyon) uygulamayı planlamaktadır.

Buna göre, bu modellerin doğrusal hâle getirilebilirliği ve tahmin süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak doğrudur?

A
Model I'e logaritmik dönüşüm uygulandığında, elde edilen EKK tahmin edicileri Gauss-Markov teoremi gereğince dönüştürülmüş hata teriminin varyans yapısından bağımsız olarak her zaman sapmasız ve en etkin tahmin ediciler olur.
B
Model I logaritmik dönüşümle doğrusal hâle getirildiğinde, elde edilen $\beta_2$ katsayısı, $X$ değişkenindeki bir birimlik mutlak artışın $Y$ değişkeninde yaratacağı ortalama mutlak değişimi ifade eder.
Model I, hata teriminin çarpımsal olarak yer alması nedeniyle logaritmik dönüşümle parametreleri açısından doğrusal hâle getirilebilirken; Model II hata terimi toplanabilir olduğu için yapısal olarak doğrusal olmayan (intrinsically non-linear) bir modeldir.Cevap
D
Her iki model de bağımlı değişkenin doğal logaritması alınarak doğrusal hâle getirilebilir ve dönüştürülmüş bu modellerin $R^2$ değerleri, orijinal düzeydeki bir doğrusal modelin $R^2$ değeriyle model seçimi için doğrudan karşılaştırılabilir.
E
Model I'in dönüşümü sonrasında varyansın sabit kalıp kalmadığını (heteroskedastisite) test etmek amacıyla, modelin kalıntıları üzerinden Durbin-Watson veya Breusch-Godfrey testlerinin uygulanması istatistiksel olarak yeterlidir.

Cevap

Model I'in hata teriminin çarpımsal olması nedeniyle logaritmik dönüşümle parametreleri açısından doğrusal hâle getirilebileceğini, Model II'nin ise toplanabilir hata terimi sebebiyle doğrusal hâle getirilemeyeceğini ifade eden seçenektir.

Bir modelin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilebilmesi için parametreleri ve hata terimi açısından doğrusal formda olması (veya bu forma dönüştürülebilmesi) gerekir. Model I (

Y_i = \beta_1 X_i^{\beta_2} e^{u_i}

) her iki tarafın doğal logaritması alındığında

\ln(Y_i) = \ln(\beta_1) + \beta_2 \ln(X_i) + u_i

biçimine dönüşür. Bu yeni denklem, parametreler ve en önemlisi hata terimi (

u_i

) açısından ayrıştırılmış, doğrusal bir modeldir. Ancak Model II (

Y_i = \alpha_1 X_i^{\alpha_2} + v_i

) toplanabilir (additive) bir hata terimine sahip olduğundan, logaritma alma işlemi hata terimini doğrusal bir formda denklemden ayıramaz [

\ln(Y_i) = \ln(\alpha_1 X_i^{\alpha_2} + v_i)

]. Bu ifade matematiksel olarak daha fazla basitleştirilemez. Bu nedenle Model II, yapısal olarak doğrusal olmayan (intrinsically non-linear) bir modeldir ve standart EKK ile tahmin edilemez.

Adım Adım Çözüm

Modellerin hata terimi (stokastik bozucu terim) yapılarını ve denkleme dâhil olma biçimlerini incelemek.

Model I'de hata terimi modele çarpımsal (

e^{u_i}

) olarak girmekte, Model II'de ise toplanabilir (

+ v_i

) olarak dâhil olmaktadır.

Bir modelin En Küçük Kareler (EKK) ile tahmin edilebilecek doğrusal bir forma dönüştürülüp dönüştürülemeyeceği, hata teriminin yapısına bağlıdır.

Her iki modele de doğal logaritma (ln) dönüşümünün matematiksel kurallarını uygulamak.

Model I için

\ln(Y_i) = \ln(\beta_1) + \beta_2\ln(X_i) + u_i

elde edilir. Model II için

\ln(Y_i) = \ln(\alpha_1 X_i^{\alpha_2} + v_i)

olur.

Logaritma kuralları (çarpımın logaritması toplamların logaritmasıdır) gereği çarpımsal terimler ayrıştırılabilirken, toplam durumundaki terimler (Model II'deki gibi) ayrıştırılamaz.

Dönüşüm sonrası elde edilen formların 'parametreleri açısından doğrusallık' şartını sağlayıp sağlamadığını değerlendirmek.

Model I'in dönüştürülmüş hâli parametreleri açısından (

\ln(\beta_1)

\beta_2

) doğrusaldır ve EKK ile tahmin edilebilir. Model II ise matematiksel olarak doğrusal bir forma indirgenemez (intrinsically non-linear).

EKK'nın uygulanabilmesi için nihai modelin

Y = \beta_0 + \beta_1 X + u

formuna matematiksel olarak tam uyum sağlaması gerekir.

Anahtar Kavram

Doğrusal Hâle Getirilebilir Modellerde Hata Teriminin Fonksiyonel Yapısı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular