Bir kitleden alınan X_1, X_2, \dots, X_n rastgele örnekleminin olasılık dağılımı bilinmeye… — KPSS İstatistik

Bir kitleden alınan $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örnekleminin olasılık dağılımı bilinmeyen bir $\theta$ parametresine bağlı olsun. $\theta$ parametresi için yansız bir tahmin edici $U$ ve $\theta$ için yeterli (sufficient) bir istatistik $T$ olarak verilmektedir. Rao-Blackwell teoremine göre, $U$ tahmin edicisinin $T$ yeterli istatistiği verildiğindeki koşullu beklenen değeri alınarak $\phi(T) = E(U \mid T)$ şeklinde yeni bir tahmin edici oluşturulmaktadır.

Buna göre, elde edilen $\phi(T)$ tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
$\phi(T)$ tahmin edicisinin $\theta$ için yansızlık özelliğini koruyabilmesi için $T$ istatistiğinin aynı zamanda tam (complete) bir istatistik olması zorunludur.
B
$\phi(T)$ tahmin edicisinin varyansı her durumda Cramer-Rao alt sınırına eşittir, bu nedenle her zaman düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE).
$\phi(T)$ tahmin edicisi $\theta$ için yansızdır ve varyansı $U$ 'nun varyansından büyük olamaz ( $Var(\phi(T)) \leq Var(U)$ ).Cevap
D
$\phi(T)$ tahmin edicisi $\theta$ için her zaman tutarlı (consistent) bir tahmin edicidir, ancak yansız olduğu kesin olarak söylenemez.
E
$\phi(T)$ tahmin edicisinin beklenen değeri $U$ 'nun beklenen değerinden her zaman daha küçüktür, bu sayede hata kareler ortalaması (MSE) düşürülmüş olur.

Cevap

\phi(T)

tahmin edicisi

\theta

için yansızdır ve varyansı orijinal

U

tahmin edicisinin varyansından küçük veya ona eşittir.

Rao-Blackwell teoremine göre, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerine koşullu beklenen değeri (

\phi(T) = E(U \mid T)

), parametre için yine yansız bir tahmin edicidir çünkü

E[\phi(T)] = E[E(U \mid T)] = E[U] = \theta

eşitliği her zaman geçerlidir. Ayrıca, toplam varyans kuralı (

Var(U) = Var(E(U \mid T)) + E(Var(U \mid T))

) gereği varyanslar negatif olamayacağından,

Var(\phi(T)) \leq Var(U)

eşitsizliği de kesin olarak sağlanır.

Adım Adım Çözüm

Rao-Blackwell teoreminin varsayımlarını ve koşullu beklenen değer tanımını değerlendirin.

\phi(T) = E(U \mid T)

olarak tanımlanmıştır, burada

U

yansız ve

T

yeterli istatistiktir.

Teoremin sonuçlarını türetmek için başlangıç koşullarının matematiksel özelliklerine ihtiyaç vardır.

Koşullu beklenen değer kuralını uygulayarak

\phi(T)

'nin beklenen değerini hesaplayın.

E[\phi(T)] = E[E(U \mid T)] = E[U]

U

yansız olduğu için

E[U] = \theta

elde edilir.

Yeni tahmin edicinin yansız olup olmadığını kontrol etmek için beklenen değerine bakılmalıdır.

Koşullu varyans teoremini (Toplam Varyans Kuralı) uygulayarak varyansları karşılaştırın.

Var(U) = Var(E(U \mid T)) + E(Var(U \mid T))

eşitliğinden

Var(U) = Var(\phi(T)) + E(Var(U \mid T))

yazılır.

Orijinal ve yeni tahmin edicilerin varyansları arasındaki büyüklük ilişkisini kurmak için varyans ayrıştırması gereklidir.

Varyansın negatif olamayacağı gerçeğinden yola çıkarak eşitsizliği oluşturun.

Var(U \mid T) \geq 0

olduğundan

E(Var(U \mid T)) \geq 0

olur. Dolayısıyla

Var(U) \geq Var(\phi(T))

eşitsizliği kesin olarak sağlanır.

Varyansların her zaman pozitif veya sıfır olma özelliğinden yola çıkarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru