Examkin

Soru

Zorluk: KolayNeyman-Pearson Lemması

Bir XX rastgele değişkeninin H0H_0 ve H1H_1 basit hipotezleri altındaki olasılık fonksiyonları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xxP(X=x∣H0)P(X=x \mid H_0)P(X=x∣H1)P(X=x \mid H_1)
10050{}050500{}50
20100{}100200{}20
30850{}850300{}30

Buna göre, anlamlılık düzeyi α=005\alpha = 0{}05 olan en güçlü (MP) testin reddetme bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. \{1\}Cevap
  2. B
    \{2\}
  3. C
    \{3\}
  4. D
    \{1, 2\}
  5. E
    \{2, 3\}

Cevap

En güçlü reddetme bölgesi {1} kümesidir.
Neyman-Pearson Lemması'na göre, basit hipotezleri test ederken en güçlü test, olabilirlik oranının (L(H0)/L(H1)L(H_0)/L(H_1)) en küçük olduğu değerlerden başlanarak kurulur. Tablodaki verilere göre x=1x=1 için bu oran 0100{}10 ile en küçüktür. Ayrıca x=1x=1 değerinin H0H_0 hipotezi altındaki olasılığı (0050{}05), tam olarak istenen α=005\alpha=0{}05 anlamlılık düzeyine eşittir. Bu nedenle reddetme bölgesi {1}\{1\} olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir gözlem değeri için olabilirlik oranlarını (L(H0)/L(H1)L(H_0)/L(H_1)) hesaplayın.
x=1x=1 için 005/050=0100{}05 / 0{}50 = 0{}10; x=2x=2 için 010/020=0500{}10 / 0{}20 = 0{}50; x=3x=3 için 085/030≈2830{}85 / 0{}30 \approx 2{}83
Neyman-Pearson Lemması, reddetme bölgesinin en düşük olabilirlik oranlarına sahip değerlerden oluştuğunu belirtir.
2
Hesaplanan oranları küçükten büyüğe sıralayın.
x=1x=1 (oran: 0100{}10) < x=2x=2 (oran: 0500{}50) < x=3x=3 (oran: 2832{}83)
Sıralama, reddetme bölgesine eklenecek adayların önceliğini belirler.
3
Anlamlılık düzeyi α=005\alpha = 0{}05 şartını sağlayan en küçük oranlı kümeyi seçin.
P(X=1∣H0)=005P(X=1 \mid H_0) = 0{}05 olduğu için {1}\{1\} kümesi tam olarak α\alpha değerini sağlar.
Reddetme bölgesinin H0H_0 altındaki olasılığı (I. tip hata), anlamlılık düzeyine eşit veya ondan küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Olabilirlik Oranı (Likelihood Ratio)
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Neyman-Pearson Lemması

Bu konudan daha fazla soru