Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Türk Standartları Enstitüsü (TSE), bir yapı denetim firması tarafından üretilen beton numunelerinin basınç dayanımlarındaki değişkenliği (varyans) incelemektedir. Rastgele seçilen 1515 beton numunesinin basınç dayanımları ölçülmüş ve örneklem varyansı s2=3,6 (MPa)2s^2 = 3,6 \text{ (MPa)}^2 olarak hesaplanmıştır. Basınç dayanımlarının normal dağılım gösterdiği varsayıldığında, kitle varyansı (σ2\sigma^2) için %95\%95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: χ0,025;142=26,12\chi^2_{0,025; 14} = 26,12 ve χ0,975;142=5,63\chi^2_{0,975; 14} = 5,63)

  1. [1,93 ; 8,95][1,93 \, ; \, 8,95]Cevap
  2. B
    [2,07 ; 9,59][2,07 \, ; \, 9,59]
  3. C
    [5,63 ; 26,12][5,63 \, ; \, 26,12]
  4. D
    [1,39 ; 2,99][1,39 \, ; \, 2,99]
  5. E
    [0,14 ; 0,64][0,14 \, ; \, 0,64]

Cevap

Kitle varyansı için %95 güven aralığı [1,93;8,95][1,93 ; 8,95] olarak belirlenmiştir.
Verilen n=15n=15 ve s2=3,6s^2=3,6 değerleri ile 1414 serbestlik derecesindeki Ki-kare değerleri (26,12 ve 5,63) formüle yerleştirildiğinde; alt sınır 50,4/26,12=1,9350,4 / 26,12 = 1,93 ve üst sınır 50,4/5,63=8,9550,4 / 5,63 = 8,95 olarak bulunur. Bu durum [1,93;8,95][1,93 ; 8,95] aralığını doğru kılar.

Adım Adım Çözüm

1
Serbestlik derecesinin belirlenmesi
sd=n−1=15−1=14sd = n - 1 = 15 - 1 = 14
Varyans için güven aralığı hesaplanırken kullanılan Ki-kare dağılımının parametresi serbestlik derecesidir.
2
Pivot fonksiyonunun ve güven sınırları formülünün yazılması
P((n−1)s2χα/2;n−12≤σ2≤(n−1)s2χ1−α/2;n−12)=1−αP\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right) = 1 - \alpha
Normal dağılımdan gelen bir kitlede varyans tahmini için (n−1)s2σ2∼χn−12\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} pivotu kullanılır.
3
Verilen değerlerin formülde yerine konulması
Alt sınır: 14×3,626,12≈1,93\frac{14 \times 3,6}{26,12} \approx 1,93; Üst sınır: 14×3,65,63≈8,95\frac{14 \times 3,6}{5,63} \approx 8,95
Daha büyük olan Ki-kare değeri paydaya yazıldığında alt sınırı, daha küçük olan değer paydaya yazıldığında üst sınırı verir.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı oluşturulurken Ki-kare dağılımı kullanılır ve alt/üst sınırlar belirlenirken kritik değerlerin paydadaki yerlerine dikkat edilmelidir.

Daha Fazla Pratik

İki kitle varyansının oranına ilişkin güven aralıklarını F-dağılımı kullanarak inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 40s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru