Examkin

Soru

Zorluk: ZorDualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bir büyükşehir belediyesinin katı atık yönetim merkezinde, üç farklı geri dönüşüm sürecinin entegrasyonu için geliştirilen doğrusal programlama primal modeli aşağıda verilmiştir:

Maksimum Z=12x1+8x2−5x3\text{Maksimum } Z = 12x_1 + 8x_2 - 5x_3
Kısıtlayıcı fonksiyonlar:
3x1+2x2−4x3≤5003x_1 + 2x_2 - 4x_3 \le 500
x1−3x2+2x3≥150x_1 - 3x_2 + 2x_3 \ge 150
2x1+x2+5x3=3002x_1 + x_2 + 5x_3 = 300
x1≥0, x3≥0, x2 is¸aretsizx_1 \ge 0, \ x_3 \ge 0, \ x_2 \text{ işaretsiz}

Buna göre, verilen primal modele karşılık gelen dual model aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Min W=500y1+150y2+300y3\text{Min } W = 500y_1 + 150y_2 + 300y_3
    3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \ge 12
    2y1−3y2+y3=82y_1 - 3y_2 + y_3 = 8
    −4y1+2y2+5y3≥−5-4y_1 + 2y_2 + 5y_3 \ge -5
    y1≥0, y2≤0, y3 is¸aretsizy_1 \ge 0, \ y_2 \le 0, \ y_3 \text{ işaretsiz}    Cevap
  2. B
    Min W=500y1+150y2+300y3\text{Min } W = 500y_1 + 150y_2 + 300y_3
    3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \ge 12
    2y1−3y2+y3≥82y_1 - 3y_2 + y_3 \ge 8
    −4y1+2y2+5y3≥−5-4y_1 + 2y_2 + 5y_3 \ge -5
    y1≥0, y2≥0, y3 is¸aretsizy_1 \ge 0, \ y_2 \ge 0, \ y_3 \text{ işaretsiz}
  3. C
    Min W=500y1+150y2+300y3\text{Min } W = 500y_1 + 150y_2 + 300y_3
    3y1+y2+2y3≤123y_1 + y_2 + 2y_3 \le 12
    2y1−3y2+y3=82y_1 - 3y_2 + y_3 = 8
    −4y1+2y2+5y3≤−5-4y_1 + 2y_2 + 5y_3 \le -5
    y1≥0, y2≤0, y3 is¸aretsizy_1 \ge 0, \ y_2 \le 0, \ y_3 \text{ işaretsiz}
  4. D
    Min W=500y1+150y2+300y3\text{Min } W = 500y_1 + 150y_2 + 300y_3
    3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \ge 12
    2y1−3y2+y3=82y_1 - 3y_2 + y_3 = 8
    −4y1+2y2+5y3≥−5-4y_1 + 2y_2 + 5y_3 \ge -5
    y1≥0, y2≥0, y3≥0y_1 \ge 0, \ y_2 \ge 0, \ y_3 \ge 0
  5. E
    Maks W=500y1+150y2+300y3\text{Maks } W = 500y_1 + 150y_2 + 300y_3
    3y1+y2+2y3≤123y_1 + y_2 + 2y_3 \le 12
    2y1−3y2+y3=82y_1 - 3y_2 + y_3 = 8
    −4y1+2y2+5y3≤−5-4y_1 + 2y_2 + 5y_3 \le -5
    y1≥0, y2≤0, y3 is¸aretsizy_1 \ge 0, \ y_2 \le 0, \ y_3 \text{ işaretsiz}

Cevap

Doğru dual modelde amaç fonksiyonu Min W = 500y_1 + 150y_2 + 300y_3 şeklinde olmalı; x_2 işaretsiz olduğu için 2. kısıt eşitlik (= 8) içermeli ve primal kısıtların yönlerine bağlı olarak y_1 ≥ 0, y_2 ≤ 0, y_3 işaretsiz olarak tanımlanmalıdır.
Doğru seçenekte dualite kuralları eksiksiz işletilmiştir. Primal model Maksimum olduğu için dual model Minimum yönlüdür. Primal değişken olan x2x_2 işaretsiz olduğu için 2. dual kısıt eşitliktir (==). Primal kısıtlardan ikincisi ≥\ge olduğu için dual değişken y2≤0y_2 \le 0, üçüncü kısıt eşitlik olduğu için dual değişken y3y_3 işaretsiz olarak doğru şekilde ifade edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Amaç fonksiyonunun yönünü ve katsayılarını belirleme.
Primal model Maksimum olduğu için dual model Minimum olmalıdır. Primalin sağ taraf sabitleri dualin amaç fonksiyonu katsayıları olur: Min W = 500y_1 + 150y_2 + 300y_3.
Dualite teoremine göre primal ve dual modeller zıt amaçlıdır (Maksimum -> Minimum).
2
Dual değişkenlerin (y_1, y_2, y_3) işaret sınırlarını belirleme.
1. primal kısıt (≤) -> y_1 ≥ 0
2. primal kısıt (≥) -> y_2 ≤ 0 (Maksimum modelde standart olmayan yön)
3. primal kısıt (=) -> y_3 işaretsiz (serbest).
Maksimum modelin kısıt yönleri, dual model değişkenlerinin işaret durumunu tanımlar.
3
Dual kısıtların yönünü ve katsayılarını oluşturma.
Primal değişken sütunları dual kısıt satırlarını oluşturur.
x_1 ≥ 0 -> 3y_1 + y_2 + 2y_3 ≥ 12
x_2 işaretsiz -> 2y_1 - 3y_2 + y_3 = 8
x_3 ≥ 0 -> -4y_1 + 2y_2 + 5y_3 ≥ -5
Primal değişkenlerin (x_j) işaret sınırlamaları, dual modeldeki karşılık gelen kısıtların eşitsizlik yönünü belirler.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada primal modelden dual modele geçiş kuralları (kısıt yönü ve değişken işareti ilişkileri).
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bu konudan daha fazla soru