Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBirikimli Dağılım Fonksiyonu ve Özellikleri

Bir endüstriyel üretim hattında üretilen belirli bir mekanik parçanın ömrü (yıl cinsinden) XX sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıda verilmiştir:

F(x)={0,x<0k(3x2−x3),0≤x≤21,x>2F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ k(3x^2 - x^3), & 0 \leq x \leq 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir parçanın ömrünün 1,51,5 yıldan az olduğu bilindiğine göre, 11 yıldan fazla olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    1132\frac{11}{32}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. C
    1627\frac{16}{27}
  4. 1127\frac{11}{27}Cevap
  5. E
    1116\frac{11}{16}

Cevap

Doğru oran 1127\frac{11}{27}'dir.
Verilen F(x)F(x) fonksiyonunun geçerli bir sürekli birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) olması için üst sınır olan x=2x=2 noktasında F(2)=1F(2) = 1 eşitliğini sağlaması gerekir. Bu eşitlikten k(3(4)−8)=1  ⟹  4k=1  ⟹  k=1/4k(3(4)-8) = 1 \implies 4k=1 \implies k=1/4 olarak bulunur. Soruda istenen değer, 1,51,5 yıldan az olduğu bilindiğine göre 11 yıldan fazla dayanma koşullu olasılığıdır. Bu olasılık P(X>1∣X<1,5)=P(1<X<1,5)P(X<1,5)P(X > 1 \mid X < 1,5) = \frac{P(1 < X < 1,5)}{P(X < 1,5)} şeklinde ifade edilir. CDF özellikleri gereği pay F(1,5)−F(1)F(1,5) - F(1), payda ise F(1,5)F(1,5)'tir. Fonksiyonda yerlerine yazıldığında F(1)=16/32F(1) = 16/32 ve F(1,5)=27/32F(1,5) = 27/32 bulunur. İlgili oran hesaplandığında 27/32−16/3227/32=1127\frac{27/32 - 16/32}{27/32} = \frac{11}{27} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
kk sabitini bulmak için sürekli birikimli dağılım fonksiyonunun özelliklerini kullanma.
F(2)=1  ⟹  k(3(2)2−23)=1  ⟹  4k=1  ⟹  k=14F(2) = 1 \implies k(3(2)^2 - 2^3) = 1 \implies 4k = 1 \implies k = \frac{1}{4}
Birikimli dağılım fonksiyonu XX'in alabileceği maksimum değerde veya x→∞x \to \infty limitinde 11'e eşit olmalıdır.
2
İstenen koşullu olasılığı formüle dökme.
P(X>1∣X<1,5)=P(X>1∩X<1,5)P(X<1,5)=P(1<X<1,5)P(X<1,5)P(X > 1 \mid X < 1,5) = \frac{P(X > 1 \cap X < 1,5)}{P(X < 1,5)} = \frac{P(1 < X < 1,5)}{P(X < 1,5)}
Koşullu olasılık tanımı gereği P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} eşitliği kullanılır.
3
Formüldeki pay ve payda için gerekli F(1)F(1) ve F(1,5)F(1,5) değerlerini hesaplama.
F(1)=14(3(1)2−13)=12=1632F(1) = \frac{1}{4}(3(1)^2 - 1^3) = \frac{1}{2} = \frac{16}{32}
F(1,5)=F(32)=14(3(32)2−(32)3)=14(274−278)=2732F(1,5) = F(\frac{3}{2}) = \frac{1}{4}\left(3\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^3\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{27}{4} - \frac{27}{8}\right) = \frac{27}{32}
Sürekli rastgele değişkenlerde P(a<X<b)=F(b)−F(a)P(a < X < b) = F(b) - F(a) ve P(X<b)=F(b)P(X < b) = F(b) eşitlikleri geçerlidir.
4
Değerleri koşullu olasılık formülünde yerine koyma.
F(1,5)−F(1)F(1,5)=2732−16322732=11322732=1127\frac{F(1,5) - F(1)}{F(1,5)} = \frac{\frac{27}{32} - \frac{16}{32}}{\frac{27}{32}} = \frac{\frac{11}{32}}{\frac{27}{32}} = \frac{11}{27}
Olasılık değerlerinin oranlanmasıyla nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birikimli Dağılım Fonksiyonu (CDF) Özellikleri ve Koşullu Olasılık
Bu soruyu puanla

Konular

Birikimli Dağılım Fonksiyonu ve Özellikleri