Rastgele Değişkenler ve Beklenen Değer Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Bir $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıdaki gibi verilmiştir:

F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{x+1}{4}, & -1 \le x < 1 \\ \frac{x^2+c}{8}, & 1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}

Bu fonksiyonun geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonu olabilmesi için $c$ sabitinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

Yalnızca

3

[0, 4]

[3, 4]

Yalnızca

4

[3, \infty)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[3, 4]$

Cevap

Geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonu için c sabitinin [3, 4] aralığında olması gerekir.

Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) geçerli olabilmesi için tüm tanım kümesinde azalmayan (non-decreasing) bir fonksiyon olması gerekir. Fonksiyonun tanımlı olduğu aralık geçişlerinde sağdan limit, soldan limite eşit veya ondan büyük olmalıdır (

F(x^+) \ge F(x^-)

).

1.

x = 1

noktasındaki geçişte:

F(1) \ge \lim_{x \to 1^-} F(x) \implies \frac{1^2+c}{8} \ge \frac{1+1}{4} \implies \frac{1+c}{8} \ge \frac{1}{2} \implies c \ge 3

bulunur.

2.

x = 2

noktasındaki geçişte:

F(2) \ge \lim_{x \to 2^-} F(x) \implies 1 \ge \frac{2^2+c}{8} \implies 1 \ge \frac{4+c}{8} \implies c \le 4

bulunur.

Bu iki koşulun kesişimi

c \in [3, 4]

aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) özelliklerini gözden geçirin.

CDF azalmayan (non-decreasing) bir fonksiyondur ve maksimum değeri 1'dir.

Olasılık değerleri negatif olamaz, bu yüzden aralık ilerledikçe toplam birikimli olasılık sadece artabilir veya sabit kalabilir.

2

x = 1 noktasındaki geçiş koşulunu (azalmama durumu) kontrol edin.

F(1) \ge \lim_{x \to 1^-} F(x)

eşitsizliğinden

\frac{1^2+c}{8} \ge \frac{1+1}{4}

yani

\frac{1+c}{8} \ge \frac{1}{2} \implies c \ge 3

bulunur.

Fonksiyonun bu geçiş noktasında değerinin düşmemesi zorunludur.

3

x = 2 noktasındaki geçiş koşulunu kontrol edin.

F(2) \ge \lim_{x \to 2^-} F(x)

eşitsizliğinden

1 \ge \frac{2^2+c}{8} \implies 8 \ge 4+c \implies c \le 4

bulunur.

CDF değeri 1'i aşamayacağı için,

x=2

noktasına yaklaşırken fonksiyon en fazla 1 olabilir.

4

Bulunan eşitsizlikleri birleştirerek c'nin çözüm aralığını belirleyin.

c \ge 3

ve

c \le 4

koşullarının kesişimi

[3, 4]

aralığıdır.

Fonksiyonun tüm noktalarda geçerli bir CDF olabilmesi için her iki sınır şartı da aynı anda sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Birikimli Dağılım Fonksiyonunun (CDF) Özellikleri (Azalmayan Yapı ve Sınır Değerleri)

Soru 2Soru →

Bir $X$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y = -2\ln(X)$ dönüşümü ile elde edilen $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = e^{-y}, \quad y > 0

f_Y(y) = 2e^{-y/2}, \quad y > 0

f_Y(y) = e^{-y}, \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = \frac{1}{2}e^{-y/2}, \quad y > 0

f_Y(y) = 4e^{-y}, \quad y > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = e^{-y}, \quad y > 0$

Cevap

Y

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = e^{-y}, \quad y > 0

olarak bulunur. Bu fonksiyon, üstel dağılıma işaret etmektedir.

Doğru seçenekte, tek değişkenli sürekli rastgele değişken dönüşüm kuralı eksiksiz uygulanmıştır. Öncelikle

x = e^{-y/2}

olarak bulunmuş, bu ifadenin

y

'ye göre türevinin mutlak değeri

|dx/dy| = \frac{1}{2}e^{-y/2}

hesaplanmıştır. Verilen

f_X(x) = 2x

fonksiyonunda yerine yazıldığında

f_Y(y) = 2(e^{-y/2}) \cdot \frac{1}{2}e^{-y/2} = e^{-y}

elde edilmiştir.

0 < X < 1

sınırları da

y > 0

olarak doğru güncellenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Y = -2\ln(X)

denkleminden

X

değişkenini yalnız bırakma.

-y/2 = \ln(X) \implies X = e^{-y/2}

elde edilir.

Tek değişkenli dönüşüm kuralını (veya CDF yöntemini) uygulamak için ters fonksiyonun bulunması gerekir.

2

Türev alma ve mutlak değerini hesaplama.

dx/dy = -\frac{1}{2}e^{-y/2}

olur. Mutlak değeri ise

|dx/dy| = \frac{1}{2}e^{-y/2}

olarak bulunur.

Sürekli rastgele değişkenlerde dönüşüm yaparken alanın/olasılığın korunması için türevin mutlak değeri ile çarpılması kuralı vardır.

3

Y

rastgele değişkeninin tanım aralığını (sınırlarını) belirleme.

0 < X < 1

eşitsizliğinde

X

yerine

e^{-y/2}

yazılırsa:

0 < e^{-y/2} < 1 \implies y > 0

bulunur.

Yeni değişkenin hangi aralıkta olasılık taşıdığını (support) doğru tespit etmek zorunludur.

4

Dönüşüm formülünü (

f_Y(y) = f_X(v(y)) \cdot |v'(y)|

) uygulama.

f_Y(y) = 2(e^{-y/2}) \cdot (\frac{1}{2}e^{-y/2}) = e^{-y}

elde edilir. Tanım aralığı ile birleşince

f_Y(y) = e^{-y}, \; y > 0

olur.

Tüm bileşenleri bir araya getirerek

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme Yöntemi)

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunda, vatandaşların çağrı merkezinde bekleme süresi (dakika olarak) $X$ sürekli tesadüfi değişkeni ile modellenmektedir. Bekleme süresine ait birikimli dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{k \cdot x^2}{9 + x^2}, & x \ge 0 \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir vatandaşın çağrı merkezinde $1$ ile $3$ dakika arasında bekleme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{10}

\frac{1}{6}

\frac{4}{13}

\frac{2}{5}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{5}$

Cevap

Doğru yanıt

\frac{2}{5}

değeridir.

Geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonunun

x \to \infty

limitinde

1

'e eşit olması gerekliliğinden hareketle

k=1

sabiti tespit edilir. Sürekli tesadüfi değişkenler için

P(1 < X < 3)

olasılığı

F(3) - F(1)

farkı ile hesaplanır. Fonksiyonda yerine konulduğunda

F(3) = \frac{1}{2}

ve

F(1) = \frac{1}{10}

bulunur. Bu iki değerin farkı olan

\frac{2}{5}

, ilgili zaman aralığındaki doğru bekleme olasılığını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım fonksiyonunun asimptotik limit özelliğini kullanarak

k

sabitinin bulunması

\lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \implies \lim_{x \to \infty} \frac{k \cdot x^2}{9 + x^2} = k = 1

Geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonunun

x

sonsuza giderken alacağı değer

1

olmalıdır.

2

k

değeri yerine yazılarak dağılım fonksiyonunun son halinin oluşturulması

x \ge 0

için

F(x) = \frac{x^2}{9 + x^2}

elde edilir.

Olasılık hesaplamalarında tam ve eksiksiz fonksiyonun kullanılması gerekir.

3

İstenen bekleme süresi aralığı için olasılık bağıntısının ifade edilmesi

P(1 < X < 3) = F(3) - F(1)

Sürekli rastgele değişkenlerde

a < X < b

aralığının olasılığı, CDF'in uç noktalardaki değerlerinin farkına eşittir.

4

Sınır değerlerinin CDF fonksiyonunda yerine konularak aralık olasılığının hesaplanması

F(3) = \frac{3^2}{9+3^2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}

ve

F(1) = \frac{1^2}{9+1^2} = \frac{1}{10}

. Farkları:

\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5-1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Sınır değerleri için CDF hesaplaması tamamlanmış ve aranan nihai olasılık matematiksel olarak elde edilmiştir.

Anahtar Kavram

Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) sonsuzdaki limit özelliği ve sürekli değişkenlerde aralık olasılığı hesabı

Soru 4Soru →

Bir $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıda verilmiştir:

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{x}{8}, & 0 \leq x < 2 \\ \frac{x+3}{8}, & 2 \leq x < 4 \\ 1, & x \geq 4 \end{cases}

Buna göre, $P(X = 2) + P(1 < X \le 3)$ olasılık toplamı kaçtır?

\frac{1}{4}

\frac{5}{8}

\frac{7}{8}

1

\frac{5}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

İstenilen olasılık toplamı

1

'dir.

Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) özelliklerine göre nokta olasılıkları sıçrama miktarı ile bulunur.

F(2) = \frac{5}{8}

ve

F(2^-) = \frac{2}{8}

olduğundan

P(X=2) = \frac{3}{8}

'tir. Aralık olasılığı

P(1 < X \le 3)

ise

F(3) - F(1)

bağıntısı ile hesaplanır.

F(3) = \frac{6}{8}

ve

F(1) = \frac{1}{8}

olduğundan bu değer

\frac{5}{8}

çıkar. İki olasılığın toplamı

\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

P(X = 2)

nokta olasılığını hesaplayın.

P(X = 2) = \frac{3}{8}

Birikimli dağılım fonksiyonunda herhangi bir

x

noktasındaki olasılık, fonksiyonun o noktadaki değeri ile soldan limiti arasındaki farka (sıçrama miktarına) eşittir:

P(X = x) = F(x) - \lim_{h \to 0^+} F(x-h)

. Verilen fonksiyonda

x=2

için

F(2) = \frac{2+3}{8} = \frac{5}{8}

ve soldan limit

F(2^-) = \frac{2}{8}

olduğundan fark

\frac{3}{8}

'tir.

2

P(1 < X \le 3)

aralık olasılığını hesaplayın.

P(1 < X \le 3) = \frac{5}{8}

CDF'nin temel özelliği gereği aralık olasılıklarında

P(a < X \le b) = F(b) - F(a)

bağıntısı geçerlidir.

x=3

için 3. parçayı kullanarak

F(3) = \frac{3+3}{8} = \frac{6}{8}

ve

x=1

için 2. parçayı kullanarak

F(1) = \frac{1}{8}

değerleri bulunur. Olasılık

\frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

'tir.

3

Bulunan iki olasılık değerini toplayın.

Toplam

= \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1

Soruda istenen toplam değere ulaşmak için

P(X=2)

nokta olasılığı ile aralık olasılığı toplanır.

Anahtar Kavram

Karma (Mixed) Rastgele Değişkenlerde CDF Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumunun veri merkezinde, ana sunucunun yoğun işlem kapasitesinde çalıştığı günlük süre (saat) $X$ ile gösterilmekte olup, bu değişkenin yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki kuralla tanımlanmıştır:

f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\ \frac{1}{2}, & 1 \le x \le 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Aynı merkezde faaliyet gösteren bağımsız soğutma sisteminin günlük enerji tüketimi (kWh) ise $Y$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. Soğutma sisteminin ortalama enerji tüketimi $E[Y] = 3$ kWh olarak ölçülmüştür.

Sistemin günlük toplam operasyonel maliyeti $M = 144X^2 - 20Y + 15$ (TL) bağıntısıyla modellendiğine göre, günlük beklenen operasyonel maliyet ( $E[M]$ ) kaç TL olarak hesaplanır?

99

111

159

124

219

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 159

Cevap

Beklenen operasyonel maliyet 159 TL'dir.

Beklenen değer operatörü doğrusal olduğundan,

E[M] = 144E[X^2] - 20E[Y] + 15

şeklinde yazılır.

E[X^2]

değeri parçalı fonksiyonda

\int_0^1 x^3 dx + \int_1^2 \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{4} + \frac{7}{6} = \frac{17}{12}

olarak bulunur. Verilen

E[Y]=3

ve hesaplanan

E[X^2]

değerleri formülde yerine konduğunda sonuç 159 TL çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeni için

E[X^2]

değerinin integral ile hesaplanması

E[X^2] = \int_0^1 x^2(x)dx + \int_1^2 x^2(\frac{1}{2})dx = [\frac{x^4}{4}]_0^1 + [\frac{x^3}{6}]_1^2 = \frac{1}{4} + (\frac{8}{6} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{4} + \frac{7}{6} = \frac{17}{12}

Maliyet fonksiyonundaki

X^2

teriminin beklenen değerini bulmak için, verilen parçalı yoğunluk fonksiyonunun ilgili aralıklarında

x^2 \cdot f(x)

integrali alınmalıdır.

2

Beklenen değerin doğrusallık özelliğinin (linearity) maliyet fonksiyonuna uygulanması

E[M] = E[144X^2 - 20Y + 15] = 144E[X^2] - 20E[Y] + 15

Beklenen değer operatörü doğrusaldır; bağımsız değişkenlerin veya aynı değişkenin farklı fonksiyonlarının toplam/fark durumlarında sabitler dışarı alınarak ayrı ayrı beklenen değerler yazılabilir.

3

Bulunan

E[X^2]

ve verilen

E[Y]

değerlerinin denkleme yerleştirilmesi

E[M] = 144(\frac{17}{12}) - 20(3) + 15 = 12 \cdot 17 - 60 + 15 = 204 - 60 + 15 = 159

Matematiksel umut değerlerinin doğrusal fonksiyonda yerine konulmasıyla nihai operasyonel maliyet hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Beklenen Değerin Doğrusallığı ve Sürekli Rastgele Değişkenlerde Moment Hesabı

Soru 6Soru →

Bir üretim tesisinde, $X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenleri sırasıyla A ve B makinelerinin günlük çalışma sürelerini (saat) temsil etmektedir.

A makinesinin çalışma süresi

X

'in olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x) = \begin{cases} c(4x - x^3), & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilmiştir.

B makinesinin çalışma süresi $Y$ 'nin ise beklenen değeri 3 saat ve standart sapması 2 saattir.

Bu iki makinenin günlük toplam operasyonel maliyeti (bin TL cinsinden)

M = 3X^2 - 5XY + 2Y^2 + 10

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu üretim tesisinin günlük beklenen operasyonel maliyeti kaç bin TL'dir?

14

16

20

24

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24

Beklenen değer hesabı için öncelikle olasılık yoğunluk fonksiyonunun alanı 1'e eşitlenerek

c = 1/4

bulunur. Ardından

E[X] = 16/15

ve

E[X^2] = 4/3

integraller yardımıyla hesaplanır. İkinci değişken için

E[Y^2] = Var(Y) + E[Y]^2 = 2^2 + 3^2 = 13

olarak bulunur. İki değişken bağımsız olduğu için

E[XY] = E[X]E[Y] = 16/5

'tir. Beklenen değerin doğrusallık özelliği gereği

E[M] = 3(4/3) - 5(16/5) + 2(13) + 10 = 4 - 16 + 26 + 10 = 24

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

c

sabitinin bulunması

c = \frac{1}{4}

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplam alanı 1 olmalıdır:

\int_0^2 c(4x - x^3)dx = c[2x^2 - \frac{x^4}{4}]_0^2 = c(8 - 4) = 4c = 1

.

2

X

değişkeninin beklenen değerinin (

E[X]

) hesaplanması

E[X] = \frac{16}{15}

E[X] = \int_0^2 x \cdot \frac{1}{4}(4x - x^3)dx = \int_0^2 (x^2 - \frac{x^4}{4})dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{20}]_0^2 = \frac{8}{3} - \frac{32}{20} = \frac{16}{15}

.

3

X

'in ikinci momentinin (

E[X^2]

) hesaplanması

E[X^2] = \frac{4}{3}

E[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{1}{4}(4x - x^3)dx = \int_0^2 (x^3 - \frac{x^5}{4})dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24}]_0^2 = 4 - \frac{64}{24} = \frac{4}{3}

.

4

Y

'nin ikinci momentinin (

E[Y^2]

) hesaplanması

E[Y^2] = 13

Var(Y) = \sigma_Y^2 = 2^2 = 4

. Varyans formülünden

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 4 + 3^2 = 13

bulunur.

5

Doğrusallık ve bağımsızlık özellikleri kullanılarak

E[M]

'nin hesaplanması

E[M] = 24

X

ve

Y

bağımsız olduğu için

E[XY] = E[X]E[Y] = \frac{16}{15} \cdot 3 = \frac{16}{5}

olur. Doğrusallık kuralı ile:

E[M] = 3E[X^2] - 5E[XY] + 2E[Y^2] + 10 = 3(\frac{4}{3}) - 5(\frac{16}{5}) + 2(13) + 10 = 4 - 16 + 26 + 10 = 24

.

Anahtar Kavram

Beklenen değerin doğrusallığı, sürekli değişkenlerde moment hesaplamaları ve bağımsız değişkenlerin özellikleri

Soru 7Soru →

Kesikli bir

X

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF), tüm gerçel

t

değerleri için

M_X(t) = \frac{1 + 2e^t + 3e^{2t}}{6}

olarak verilmiştir.
\Buna göre,

Y = 3X - 2

rastgele değişkeninin varyansı (

Var(Y)

) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{5}{3}

2

3

5

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 olmalıdır. MGF üzerinden birinci ve ikinci türevler alınarak

X

'in beklenen değeri ve ikinci momenti hesaplanır, buradan

Var(X) = 5/9

bulunur. Ardından

Var(aX+b)=a^2Var(X)

özelliği kullanılarak sonuca ulaşılır.

Doğru cevap 5'tir çünkü X'in moment çıkaran fonksiyonu üzerinden birinci ve ikinci türevler alınarak beklenen değer (

E[X]=4/3

) ve ikinci moment (

E[X^2]=7/3

) bulunmuş, buradan varyans formülüyle

Var(X) = 5/9

elde edilmiştir. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralı (

Var(aX+b) = a^2 Var(X)

) doğru bir şekilde uygulandığında

Var(3X-2) = 3^2 \times (5/9) = 9 \times (5/9) = 5

sonucu hatasız olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Moment çıkaran fonksiyonun

t=0

noktasındaki birinci türevini bularak

X

'in beklenen değerini (

E[X]

) hesaplamak.

M_X'(t) = \frac{2e^t + 6e^{2t}}{6} \implies E[X] = M_X'(0) = \frac{2+6}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Bir rastgele değişkenin beklenen değeri, moment çıkaran fonksiyonunun

t=0

'daki birinci türevine eşittir.

2

Moment çıkaran fonksiyonun

t=0

noktasındaki ikinci türevini bularak

X

'in karesinin beklenen değerini (

E[X^2]

) hesaplamak.

M_X''(t) = \frac{2e^t + 12e^{2t}}{6} \implies E[X^2] = M_X''(0) = \frac{2+12}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}

İkinci moment (

E[X^2]

), MGF'nin

t=0

'daki ikinci türevi alınarak bulunur.

3

X

rastgele değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplamak.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{7}{3} - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{21}{9} - \frac{16}{9} = \frac{5}{9}

Varyans formülü, ikinci momentten birinci momentin karesinin çıkarılmasını gerektirir.

4

Y = 3X - 2

rastgele değişkeninin varyansını varyans özelliklerini kullanarak bulmak.

Var(Y) = Var(3X - 2) = 3^2 \cdot Var(X) = 9 \cdot \frac{5}{9} = 5

Var(aX + b) = a^2 Var(X)

kuralı gereğince sabit terimin varyansa etkisi yoktur ve katsayının karesi alınır.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) türevleri ile varyans hesabı ve varyansın doğrusal dönüşüm özellikleri

Soru 8Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde, geliştirilen özel bir sulama sisteminin günlük aktif çalışma süresi (saat cinsinden) $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu sulama sisteminin günlük işletme maliyeti (TL cinsinden) $Y = 40X^2 - 15X + 50$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, sistemin günlük beklenen işletme maliyeti ( $E[Y]$ ) kaç TL'dir?

73.5

87.5

117.5

123.5

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 123.5

Cevap

123.5

Beklenen değerin doğrusallık (operatör) kuralı gereği

E[40X^2 - 15X + 50] = 40E[X^2] - 15E[X] + 50

eşitliği geçerlidir. Sürekli rastgele değişkenler için integral hesabı yapıldığında birinci moment

E[X] = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{8}x^2 dx = 1.5

ve ikinci moment

E[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{8}x^2 dx = 2.4

olarak bulunur. Bu değerler doğrusallık formülünde yerine konulduğunda

40(2.4) - 15(1.5) + 50 = 123.5

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in beklenen değerini (

E[X]

) integral formülü ile hesaplama

E[X] = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{8}x^2 dx = \frac{3}{8} \int_0^2 x^3 dx = \frac{3}{8} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{3}{8} \cdot 4 = 1.5

Maliyet fonksiyonundaki lineer

X

teriminin ortalama değerini bulmak için

2

X^2

'nin beklenen değerini (

E[X^2]

) integral formülü ile hesaplama

E[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{8}x^2 dx = \frac{3}{8} \int_0^2 x^4 dx = \frac{3}{8} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{32}{5} = 2.4

Maliyet fonksiyonundaki karesel

X^2

teriminin ortalama değerini bulmak için

3

Beklenen değerin doğrusallık (lineerlik) özelliğini maliyet fonksiyonuna (

Y

) uygulama

E[Y] = E[40X^2 - 15X + 50] = 40E[X^2] - 15E[X] + 50

Beklenen değer operatörünün kurallarını kullanarak nihai sonucu elde etmek için

4

Bulunan

E[X]

ve

E[X^2]

değerlerini yerine koyarak sonucu hesaplama

40(2.4) - 15(1.5) + 50 = 96 - 22.5 + 50 = 123.5

Sistemin günlük beklenen maliyetini nihai bir sayı olarak belirlemek için

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde beklenen değer hesaplaması ve beklenen değerin doğrusallık özelliği

Soru 9Soru →

Bir üretim bandında üretilen $A$ ve $B$ tipi iki farklı parçanın ağırlıkları birbirinden bağımsız ve normal dağılıma sahiptir.

$A$ tipi parçanın ağırlığı $X_1 \sim N(10, 4)$ ve $B$ tipi parçanın ağırlığı $X_2 \sim N(15, 5)$ olarak verilmektedir (Burada normal dağılım $N(\mu, \sigma^2)$ şeklinde gösterilmektedir).

Bu üretim sürecinde, parçalardan rastgele seçilen bir $A$ tipi parçanın ağırlığının $3$ katı ile bir $B$ tipi parçanın ağırlığının $2$ katı arasındaki farka $5$ birim eklenerek yeni bir $Y$ rastgele değişkeni elde edilmektedir. Yani, $Y = 3X_1 - 2X_2 + 5$ dönüşümü tanımlanmıştır.

Verilen bilgilere göre, $Y$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) olan $M_Y(t)$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

e^{5t + 28t^2}

e^{5t + 8t^2}

e^{28t^2}

e^{5t + 11t^2}

e^{5t + t^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{5t + 28t^2}$

Cevap

Doğru moment çıkaran fonksiyon

e^{5t + 28t^2}

ifadesidir.

Y

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunu bulmak için ya doğrusal dönüşümün temel özellikleri (

E[Y]

ve

Var(Y)

) hesaplanıp doğrudan normal dağılımın MGF formülüne geçiş yapılır ya da

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

kuralı uygulanır. İkinci yöntemle:

M_Y(t) = e^{5t} M_{X_1}(3t) M_{X_2}(-2t)

. Burada

M_{X_1}(t) = e^{10t+2t^2}

ve

M_{X_2}(t) = e^{15t+2.5t^2}

olduğundan,

M_{X_1}(3t) = e^{30t+18t^2}

ve

M_{X_2}(-2t) = e^{-30t+10t^2}

olur. Bunların çarpımı

e^{5t} e^{30t+18t^2} e^{-30t+10t^2} = e^{5t+28t^2}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Y

rastgele değişkeninin beklenen değerini (ortalamasını) hesaplamak.

\mu_Y = E[3X_1 - 2X_2 + 5] = 3E[X_1] - 2E[X_2] + 5 = 3(10) - 2(15) + 5 = 5

MGF formülünde kullanmak üzere yeni değişkenin ortalamasına ihtiyaç vardır.

2

Y

rastgele değişkeninin varyansını hesaplamak.

\sigma_Y^2 = Var(3X_1 - 2X_2 + 5) = 3^2 Var(X_1) + (-2)^2 Var(X_2) = 9(4) + 4(5) = 36 + 20 = 56

Normal dağılımın parametrelerini tamamlamak için varyansın, katsayıların karesi alınarak toplanması gerekir.

3

Bulunan parametreleri normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu formülünde yerine koymak.

M_Y(t) = e^{\mu_Y t + \frac{1}{2}\sigma_Y^2 t^2} = e^{5t + \frac{1}{2}(56)t^2} = e^{5t + 28t^2}

Normal dağılıma sahip bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonu da normal dağılır; elde edilen yeni

\mu

ve

\sigma^2

değerleri ile MGF belirlenir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF) ve Beklenen Değer/Varyans Özellikleri

Soru 10Soru →

Bir gümrük müdürlüğünde günlük incelenen beyanname sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin beklenen değeri $40$ ve varyansı $25$ 'tir.

Bu müdürlükteki günlük toplam işlem yükü (dakika cinsinden), $Y = 3X + 20$ eşitliği ile ifade edilmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde toplam işlem yükünün kendi beklenen değerinden $45$ dakika veya daha fazla sapma gösterme olasılığı, Chebyshev eşitsizliğine göre en çok kaçtır?

\frac{1}{27}

\frac{1}{9}

\frac{49}{405}

\frac{1}{3}

\frac{25}{81}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{9}$

Cevap

Rastgele seçilen bir gündeki işlem yükünün beklenen değerden 45 dakika veya daha fazla sapma olasılığının üst sınırı \frac{1}{9}'dur.

Doğru cevap, varyansın doğrusal dönüşüm özelliğini (

Var(aX+b) = a^2Var(X)

) ve Chebyshev eşitsizliğini (

P(|Y - \mu_Y| \geq c) \leq \frac{Var(Y)}{c^2}

) hatasız bir şekilde birleştirerek bulunur.

Y = 3X + 20

için

Var(Y) = 3^2 \times 25 = 225

'tir. Sapma değeri

c = 45

olarak verildiğine göre olasılık üst sınırı

\frac{225}{45^2} = \frac{225}{2025} = \frac{1}{9}

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Y

rastgele değişkeninin varyansını hesaplayın.

Var(Y) = Var(3X + 20) = 3^2 Var(X) = 9 \times 25 = 225

Chebyshev eşitsizliğini

Y

değişkenine uygulayabilmek için öncelikle

Y

'nin varyansına ihtiyacımız vardır. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralı gereği sabit terim dışlanır ve katsayının karesi alınır.

2

Chebyshev eşitsizliğinin genel formülünü problemi çözecek şekilde kurgulayın.

P(|Y - \mu_Y| \geq c) \leq \frac{Var(Y)}{c^2}

formülünde

c = 45

alınır.

Soru,

Y

'nin beklenen değerinden en az

45

birim sapma olasılığının üst sınırını istemektedir.

3

Elde edilen değerleri eşitsizlikte yerine koyarak sonucu bulun.

P(|Y - \mu_Y| \geq 45) \leq \frac{225}{45^2} = \frac{225}{2025} = \frac{1}{9}

Varyans ve sapma miktarı formülde yerine yazıldığında aranan olasılığın maksimum değeri hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Chebyshev Eşitsizliği ve Varyansın Doğrusal Dönüşümü

Soru 11Soru →

Bir

X

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF)

t < \ln(1.5)

için,

M_X(t) = \exp\left( \frac{e^t - 1}{3 - 2e^t} \right)

olarak verilmiştir.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

1

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

X rastgele değişkeninin varyansı 5'tir.

Rastgele bir değişkenin varyansı, moment çıkaran fonksiyonun logaritması alınarak elde edilen kümülant çıkaran fonksiyonun (

K_X(t) = \ln M_X(t)

) doğrudan ikinci türevinin

t=0

noktasındaki değerine (

K_X''(0)

) eşittir. Verilen

M_X(t)

üzerinden

K_X(t) = \frac{e^t - 1}{3 - 2e^t}

bulunur. Birinci türevi

t=0

için 1, ikinci türevi ise

t=0

için 5 olarak hesaplandığından varyans 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Moment çıkaran fonksiyon (MGF) ile varyans arasındaki ilişkiyi kurmak.

Var(X) = M_X''(0) - [M_X'(0)]^2

eşitliği veya kümülant çıkaran fonksiyon (

K_X(t) = \ln M_X(t)

) kullanılarak

Var(X) = K_X''(0)

özelliği yazılır.

Varyansı bulmak için orijine göre momentlere veya kümülantlara ihtiyaç vardır.

2

Türev işlemlerini kolaylaştırmak için kümülant çıkaran fonksiyonu (

K_X(t)

) elde etmek.

K_X(t) = \ln\left[ \exp\left( \frac{e^t - 1}{3 - 2e^t} \right) \right] = \frac{e^t - 1}{3 - 2e^t}

elde edilir.

MGF üstel bir fonksiyon olduğundan, logaritmasını alarak bölüm fonksiyonuna geçmek zincir kuralı zorluğunu azaltır.

3

Beklenen değeri (

E[X]

) bulmak için

K_X(t)

'nin birinci türevini alıp

t=0

noktasında değerlendirmek.

K_X'(t) = \frac{e^t(3-2e^t) - (e^t-1)(-2e^t)}{(3-2e^t)^2} = \frac{e^t}{(3-2e^t)^2}

bulunur.

t=0

için

E[X] = K_X'(0) = \frac{1}{1^2} = 1

elde edilir.

Kümülant serisinin birinci terimi rastgele değişkenin beklenen değerine eşittir.

4

Varyansı (

Var(X)

) doğrudan bulmak için

K_X(t)

'nin ikinci türevini alıp

t=0

noktasında değerlendirmek.

K_X''(t) = \frac{e^t(3-2e^t)^2 - e^t \cdot 2(3-2e^t)(-2e^t)}{(3-2e^t)^4} = \frac{3e^t + 2e^{2t}}{(3-2e^t)^3}

hesaplanır.

t=0

için

Var(X) = K_X''(0) = \frac{3+2}{1^3} = 5

bulunur.

Kümülant serisinin ikinci terimi, doğrudan rastgele değişkenin varyansını (

Var(X)

) verir.

Anahtar Kavram

Moment ve Kümülant Çıkaran Fonksiyonların Özellikleri

Alternatif Yöntem

Kümülant çıkaran fonksiyon (CGF) yerine doğrudan moment çıkaran fonksiyonun (

M_X(t)

) zincir kuralı ile türevleri de alınabilir.

M_X'(t) = M_X(t) \cdot \frac{e^t}{(3-2e^t)^2}

olup

t=0

için

M_X'(0) = 1 \cdot 1 = 1 = E[X]

olur. Çarpımın türevi kuralıyla ikinci türev

M_X''(t)

hesaplanıp

t=0

konduğunda

M_X''(0) = 6 = E[X^2]

bulunur. Varyans tanımından

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 6 - 1^2 = 5

aynı sonuca ulaştırır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 12Soru →

Bir devlet hastanesi acil servisine belirli bir günde başvuran vaka sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin beklenen değeri $120$ ve standart sapması $8$ 'dir.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde acil servise başvuran vaka sayısının $100$ ile $140$ arasında olma olasılığının alabileceği en küçük değer, Chebyshev eşitsizliğine göre aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{25}

\frac{3}{5}

\frac{21}{25}

\frac{24}{25}

\frac{6}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{21}{25}$

Cevap

İstenen olasılığın alabileceği en küçük değer \frac{21}{25}'tir.

Chebyshev eşitsizliği, rastgele bir değişkenin ortalamasından

k

kadar sapmasının olasılığını

P(|X - \mu| < k) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{k^2}

formülü ile verir. Ortalama

120

, aralık sınırları

100

ve

140

olduğundan sapma mesafesi

k = 20

'dir. Standart sapma

8

olduğundan varyans

\sigma^2 = 64

'tür. Değerler yerine konduğunda

1 - \frac{64}{400} = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dağılım parametrelerini tanımla.

Beklenen değer (Ortalama):

\mu = 120

, Standart sapma:

\sigma = 8 \implies

Varyans:

\sigma^2 = 64

.

Chebyshev eşitsizliği ortalama ve varyans değerlerine ihtiyaç duyar.

2

İstenen olasılık aralığını

|X - \mu| < k

formatında ifade et.

100 < X < 140

aralığı,

120

ortalamasından

20

birimlik bir sapmayı ifade eder. Yani

|X - 120| < 20

olur ve buradan

k = 20

bulunur.

Eşitsizliğin uygulanabilmesi için aralığın ortalamadan simetrik sapma miktarı (k) belirlenmelidir.

3

Chebyshev eşitsizliğini uygula ve sonucu hesapla.

P(|X - \mu| < k) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{k^2}

formülünden;

P(|X - 120| < 20) \geq 1 - \frac{64}{20^2} = 1 - \frac{64}{400}

.

Verilen aralık içinde bulunma olasılığının alt sınırını bulmak için ana teorem uygulanır.

4

Kesri sadeleştir.

1 - \frac{64}{400} = 1 - \frac{16}{100} = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}

.

Sonucu en sade rasyonel sayı biçiminde ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Chebyshev Eşitsizliği kullanılarak belirli bir aralıktaki olasılığın alt sınırının hesaplanması.

Soru 13Soru →

Sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} cx^2, & 0 < x < 3 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $c$ bir sabittir.

Buna göre, $P(1 < X < 2)$ olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{6}

\frac{7}{27}

\frac{8}{27}

\frac{1}{3}

\frac{5}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{27}$

Cevap

İstenen olasılık değeri

\frac{7}{27}

'dir.

Verilen fonksiyonun bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) olabilmesi için tüm uzaydaki integralinin

1

olması gerekir.

\int_{0}^{3} cx^2 dx = 1

eşitliği çözüldüğünde

9c = 1

elde edilir ve buradan

c = 1/9

bulunur.

P(1 < X < 2)

olasılığını hesaplamak için bu aralıktaki alan integral ile bulunur:

\int_{1}^{2} \frac{1}{9}x^2 dx = \frac{1}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{1}{9} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{7}{27}

.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) tüm tanım aralığındaki integralinin 1'e eşit olması kuralını kullanarak

c

sabitini bulmak.

\int_{0}^{3} cx^2 dx = c \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = c \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 9c = 1 \implies c = \frac{1}{9}

Bir fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için, eğri altında kalan toplam alanın daima 1 olması gerekir.

2

Bulunan

c

değerini fonksiyonda yerine yazarak, istenen olasılık bölgesi olan

P(1 < X < 2)

aralığı için integrali kurmak.

P(1 < X < 2) = \int_{1}^{2} \frac{1}{9}x^2 dx

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralığa düşme olasılığı, PDF eğrisinin o sınırlar arasında kalan alanına eşittir.

3

Belirli integrali hesaplayıp alt ve üst sınırları yerine koyarak nihai sonucu elde etmek.

\frac{1}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{9} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{7}{3} \right) = \frac{7}{27}

İntegral kuralları ve sınır değerleri (x=2 ve x=1) kullanılarak alan doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Özellikleri ve İntegral Hesabı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Bir elektronik cihazın (yıl cinsinden) arızalanma süresini modelleyen $T$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(t) = \begin{cases} k \sqrt{t}, & 0 \leq t \leq 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bu cihazın en az 1 yıl arızalanmadan çalışma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{8}

\frac{3}{16}

\frac{7}{12}

\frac{7}{8}

\frac{13}{16}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{8}$

Cevap

İstenilen olasılık

\frac{7}{8}

'dir.

Sürekli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) en temel özelliği

\int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt = 1

olmasıdır. Fonksiyon

[0, 4]

aralığında tanımlı olduğu için öncelikle

\int_{0}^{4} k\sqrt{t} dt = 1

denklemi çözülerek

k = \frac{3}{16}

bulunur. Cihazın 'en az 1 yıl' arızalanmaması durumu

P(T \geq 1)

olasılığına karşılık gelir. Dağılımın tanımlı olduğu üst sınır 4 olduğundan, bu olasılık

\int_{1}^{4} \frac{3}{16}\sqrt{t} dt

integrali hesaplanarak bulunur.

\frac{3}{16} \cdot \frac{2}{3} [t^{3/2}]_1^4 = \frac{1}{8}(8 - 1) = \frac{7}{8}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzaydaki integralini 1'e eşitleyerek

k

sabitini bulunuz.

\int_{0}^{4} k t^{1/2} dt = k \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{0}^{4} = k \left( \frac{2}{3} \cdot 8 \right) = \frac{16k}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{16}

Bir fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) olabilmesi için tanımlı olduğu aralıktaki toplam alanının (integralinin) 1 olması gerekir.

2

Elde edilen

k

değerini yerine koyarak, istenen durum için integrali hesaplayınız. Cihazın 'en az 1 yıl' çalışması,

T \geq 1

demektir. Dağılımın üst sınırı 4 olduğundan integral [1, 4] aralığında alınmalıdır.

P(T \geq 1) = \int_{1}^{4} \frac{3}{16} t^{1/2} dt = \frac{3}{16} \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{1}^{4}

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralığa düşme olasılığı, PDF fonksiyonunun o aralıktaki belirli integrali hesaplanarak bulunur.

3

İntegral sınırlarını formülde yerine koyarak matematiksel sonucu elde ediniz.

P(T \geq 1) = \frac{3}{16} \cdot \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{8} (8 - 1) = \frac{7}{8}

Belirli integralin sınırları olan 4 ve 1 değerlerini fonksiyona yerleştirip farkı aldığımızda kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Yoğunluk Fonksiyonu Özellikleri ve Olasılık Hesabı

Soru 15Soru →

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

$U = \frac{X}{Y}$ ve $V = XY$ dönüşümleri tanımlanıyor.

Buna göre, $V$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_V(v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_V(v) = -4v \ln(v), \quad 0 < v < 1

f_V(v) = 8v(1-v), \quad 0 < v < 1

f_V(v) = -8v \ln(v), \quad 0 < v < 1

f_V(v) = 2v, \quad 0 < v < 1

f_V(v) = 8v, \quad 0 < v < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_V(v) = -4v \ln(v), \quad 0 < v < 1$

Cevap

Doğru seçenek,

V

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f_V(v) = -4v \ln(v)

olduğunu belirten seçenektir.

Verilen iki değişkenli dönüşümde marjinal yoğunluk fonksiyonu bulmak için önce ters dönüşümler (

x = \sqrt{uv}, y = \sqrt{v/u}

) elde edilip Jakobiyen (

|J| = 1/(2u)

) hesaplanmalıdır. Orijinal eşitsizliklerden (

0 < x < y < 1

) yeni sınırlar (

0 < v < u < 1

) türetildiğinde ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

4v/u

çıkar.

V

'nin marjinal dağılımını bulmak için bu fonksiyon

u

'ya göre

v

'den

1

'e kadar integre edildiğinde

-4v \ln(v)

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

U

ve

V

dönüşümleri için ters dönüşümleri elde etme

x = \sqrt{uv}

ve

y = \sqrt{v/u}

Jakobiyen determinantını hesaplamak ve

f_{X,Y}

fonksiyonunu

u,v

cinsinden yazmak için

x

ve

y

'nin yalnız bırakılması gerekir.

2

Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplama

|J| = \frac{1}{2u}

J = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}

formülü ile çok değişkenli dönüşümlerde alan/hacim düzeltme faktörü bulunur.

3

U

ve

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_{U,V}(u,v)

) yazma

f_{U,V}(u,v) = 8(\sqrt{uv})(\sqrt{v/u}) \times \frac{1}{2u} = \frac{4v}{u}

f_{X,Y}(x,y)

fonksiyonunda değişkenler yerine yazılır ve elde edilen ifade

|J|

ile çarpılır.

4

U

ve

V

için yeni tanım sınırlarını bulma

0 < v < u < 1

Orijinal

0 < x < y < 1

kısıtlarına dönüşümler uygulandığında:

\sqrt{uv} < 1 \implies u < 1/v

,

\sqrt{v/u} < 1 \implies v < u

, ve

\sqrt{uv} < \sqrt{v/u} \implies u < 1

bulunur. Bunların kesişimi

0 < v < u < 1

aralığıdır.

5

V

'nin marjinal dağılımı için ortak yoğunluk fonksiyonunu

u

üzerinden integre etme

f_V(v) = \int_v^1 \frac{4v}{u} du = -4v \ln(v)

Marjinal dağılımı bulmak için istenmeyen değişken (

u

), kendi sınırları olan

v

'den

1

'e kadar integre edilir.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Sürekli Dağılımlarda Jakobiyen Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 16Soru →

Bir endüstriyel üretim hattında üretilen belirli bir mekanik parçanın ömrü (yıl cinsinden) $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıda verilmiştir:

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ k(3x^2 - x^3), & 0 \leq x \leq 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir parçanın ömrünün $1,5$ yıldan az olduğu bilindiğine göre, $1$ yıldan fazla olma olasılığı kaçtır?

\frac{11}{32}

\frac{1}{2}

\frac{16}{27}

\frac{11}{27}

\frac{11}{16}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{11}{27}$

Cevap

Doğru oran

\frac{11}{27}

'dir.

Verilen

F(x)

fonksiyonunun geçerli bir sürekli birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) olması için üst sınır olan

x=2

noktasında

F(2) = 1

eşitliğini sağlaması gerekir. Bu eşitlikten

k(3(4)-8) = 1 \implies 4k=1 \implies k=1/4

olarak bulunur. Soruda istenen değer,

1,5

yıldan az olduğu bilindiğine göre

1

yıldan fazla dayanma koşullu olasılığıdır. Bu olasılık

P(X > 1 \mid X < 1,5) = \frac{P(1 < X < 1,5)}{P(X < 1,5)}

şeklinde ifade edilir. CDF özellikleri gereği pay

F(1,5) - F(1)

, payda ise

F(1,5)

'tir. Fonksiyonda yerlerine yazıldığında

F(1) = 16/32

ve

F(1,5) = 27/32

bulunur. İlgili oran hesaplandığında

\frac{27/32 - 16/32}{27/32} = \frac{11}{27}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

k

sabitini bulmak için sürekli birikimli dağılım fonksiyonunun özelliklerini kullanma.

F(2) = 1 \implies k(3(2)^2 - 2^3) = 1 \implies 4k = 1 \implies k = \frac{1}{4}

Birikimli dağılım fonksiyonu

X

'in alabileceği maksimum değerde veya

x \to \infty

limitinde

1

'e eşit olmalıdır.

2

İstenen koşullu olasılığı formüle dökme.

P(X > 1 \mid X < 1,5) = \frac{P(X > 1 \cap X < 1,5)}{P(X < 1,5)} = \frac{P(1 < X < 1,5)}{P(X < 1,5)}

Koşullu olasılık tanımı gereği

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

eşitliği kullanılır.

3

Formüldeki pay ve payda için gerekli

F(1)

ve

F(1,5)

değerlerini hesaplama.

F(1) = \frac{1}{4}(3(1)^2 - 1^3) = \frac{1}{2} = \frac{16}{32}

F(1,5) = F(\frac{3}{2}) = \frac{1}{4}\left(3\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^3\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{27}{4} - \frac{27}{8}\right) = \frac{27}{32}

Sürekli rastgele değişkenlerde

P(a < X < b) = F(b) - F(a)

ve

P(X < b) = F(b)

eşitlikleri geçerlidir.

4

Değerleri koşullu olasılık formülünde yerine koyma.

\frac{F(1,5) - F(1)}{F(1,5)} = \frac{\frac{27}{32} - \frac{16}{32}}{\frac{27}{32}} = \frac{\frac{11}{32}}{\frac{27}{32}} = \frac{11}{27}

Olasılık değerlerinin oranlanmasıyla nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birikimli Dağılım Fonksiyonu (CDF) Özellikleri ve Koşullu Olasılık

Soru 17Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğünde, emeklilik başvuru dosyalarının ön inceleme süresi ( $X$ ) ve detaylı onay süresi ( $Y$ ) dakika cinsinden rastgele değişkenler olarak modellenmektedir.

İstatistiksel analizler sonucunda, bu sürelerin varyansları $Var(X) = 12$ ve $Var(Y) = 15$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca ön inceleme ile detaylı onay süreleri arasındaki kovaryans $Cov(X,Y) = 6$ olarak bulunmuştur.

Kurumun yeni performans değerlendirme sistemine göre, bir dosyanın toplam işlem maliyet skoru $W = 2X + 3Y + 5$ denklemi ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, toplam işlem maliyet skorunun varyansı ( $Var(W)$ ) kaçtır?

69

141

183

255

260

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 255

Cevap

Doğru cevap 255'tir. Sabit terimin varyansa etkisi yoktur ve katsayıların karesi alınarak kovaryans hesaba katılmalıdır.

Toplam işlem maliyet skoru olan

W = 2X + 3Y + 5

ifadesinin varyansı alınırken,

Var(W) = 2^2 Var(X) + 3^2 Var(Y) + 2(2)(3)Cov(X,Y)

kuralı uygulanır. Sabit terim olan 5'in varyansa etkisi yoktur. Verilen değerler yerine konduğunda sonuç

4(12) + 9(15) + 12(6) = 48 + 135 + 72 = 255

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans operatörünün doğrusal kombinasyonlara uygulanma kuralını hatırlama

Var(aX + bY + c) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X,Y)

Rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı alınırken sabit terimler sıfırlanır, katsayıların karesi alınır ve değişkenler arası bağımlılık (kovaryans) denkleme eklenir.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyma

Var(2X + 3Y + 5) = 2^2 Var(X) + 3^2 Var(Y) + 2(2)(3) Cov(X,Y)

a=2

,

b=3

ve

c=5

değerleri kullanılarak formül sorudaki probleme özelleştirilir.

3

Sayısal işlemleri tamamlama

4(12) + 9(15) + 12(6) = 48 + 135 + 72 = 255

Bütün terimlerin toplanmasıyla maliyet skorunun nihai varyans değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Doğrusal Kombinasyonların Varyansı ve Kovaryans

Soru 18Soru →

Bir e-ticaret şirketinin lojistik merkezinde, siparişlerin ürün toplama süresi ( $X$ ) ve paketlenme süresi ( $Y$ ) dakika cinsinden birer rastgele değişken olarak modellenmektedir.

Bu değişkenlere ait özellikler kalite kontrol birimi tarafından aşağıdaki gibi hesaplanmıştır:
- $Var(X) = 10$
- $Var(Y) = 6$
- $Cov(X, Y) = 4$

Şirket yönetimi, bu iki süreci birleştirerek çalışanların performansını ölçmek amacıyla $W = 3X - 2Y + 5$ formülü ile hesaplanan yeni bir performans indeksi ( $W$ ) tanımlamıştır.

Buna göre, yeni tanımlanan performans indeksinin varyansı ( $Var(W)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

18

66

71

114

162

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

Yeni tanımlanan performans indeksinin varyansı 66'dır.

Varyansın doğrusal dönüşüm kuralına göre

Var(aX + bY + c) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y)

eşitliği kullanılır. Verilen değişkenleri yerine koyduğumuzda:

3^2Var(X) + (-2)^2Var(Y) + 2(3)(-2)Cov(X,Y)

elde edilir. Sabit sayı olan 5'in varyansa hiçbir etkisi yoktur. Sayısal değerler yerleştirildiğinde:

9(10) + 4(6) - 12(4) = 90 + 24 - 48 = 66

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Var(aX + bY + c)

formülünü açmak

Var(W) = Var(3X - 2Y + 5) = 3^2 Var(X) + (-2)^2 Var(Y) + 2(3)(-2) Cov(X, Y)

Varyansın doğrusal dönüşüm özellikleri gereği katsayıların karesi alınır, sabit sayıların varyansı 0'dır ve değişkenler arası ilişki için 2abCov(X,Y) terimi eklenir.

2

Verilen değerleri (

Var(X)=10

,

Var(Y)=6

,

Cov(X,Y)=4

) formülde yerine koymak

9(10) + 4(6) - 12(4)

Açılan varyans formülünde bilinen parametrelerin matematiksel olarak işleme alınması gerekir.

3

Matematiksel işlemleri tamamlamak

90 + 24 - 48 = 66

Çarpma işlemlerinin ardından toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal Fonksiyonların Varyansı ve Kovaryans İlişkisi

Soru 19Soru →

Bir araştırmada incelenen olayların gerçekleşme sayısı olan $X$ kesikli rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu, $k$ bir sabit sayı olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

P(X = x) = \begin{cases} \frac{k \cdot x}{3^x}, & x = 1, 2, 3, \dots \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin çift sayı değerini alma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{16}

\frac{3}{8}

\frac{1}{2}

\frac{5}{9}

\frac{9}{16}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{8}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{3}{8}

değeridir.

Doğru seçenekteki değer, ilk olarak tüm

x

değerleri için olasılıklar toplamı 1'e eşitlenerek normalizasyon sabiti olan

k = 4/3

değerinin bulunması ve ardından

x=2n

çift sayıları için aritmetik-geometrik seri toplamının doğru katsayılar ile

\sum 2k \cdot n(1/9)^n

biçiminde çözülmesiyle ulaşılan

3/8

sonucunu yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık kütle fonksiyonunun geçerli olabilmesi için tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olması gerektiği kuralını kullanarak

k

sabitini hesaplayın.

\sum_{x=1}^{\infty} \frac{k \cdot x}{3^x} = 1 \implies k \sum_{x=1}^{\infty} x \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1

. Aritmetik-geometrik seri formülü

\sum_{x=1}^{\infty} x r^x = \frac{r}{(1-r)^2}

kullanılarak toplam

\frac{1/3}{(2/3)^2} = \frac{3}{4}

bulunur. Buradan

k \cdot \frac{3}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{3}

elde edilir.

Olasılık aksiyomları gereği örnek uzaydaki tüm olası durumların olasılıkları toplamı tam olarak 1 olmak zorundadır.

2

X

'in çift sayı gelme olasılığını ifade eden toplam formülünü oluşturun.

P(X \text{ çift}) = \sum_{n=1}^{\infty} P(X = 2n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k \cdot (2n)}{3^{2n}} = 2k \sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{9}\right)^n

X

'in çift sayı değerleri

2, 4, 6, \dots

şeklindedir ve formülde

x=2n

yazılarak tüm çift değerler için sonsuz toplama geçilmelidir.

3

Elde edilen seriyi toplayarak olasılık değerini bulun.

Yine

\sum_{n=1}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}

formülünde

r = \frac{1}{9}

yazılarak toplam

\frac{1/9}{(8/9)^2} = \frac{9}{64}

bulunur. Olasılık

= 2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \frac{9}{64} = \frac{3}{8}

olarak hesaplanır.

Olasılık değerini bulmak için aritmetik-geometrik seri formülü işletilmiş ve önceden bulunan

k

değeri yerine konulmuştur.

Anahtar Kavram

Bir olasılık kütle fonksiyonunun (PMF) tüm x değerleri üzerindeki toplamının 1 olması kuralı ve belirli bir alt kümenin (çift sayılar) olasılığının seri toplamıyla bulunması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 20Soru →

Bir kamu kurumuna yapılan özel sektör yatırım teşvik başvurularının ön inceleme süresi (hafta cinsinden) sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} c(x+1), & 1 \le x \le 3 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir başvurunun ön inceleme süresinin en fazla 2 hafta olma olasılığı kaçtır?

\frac{5}{12}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{7}{12}

\frac{2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{12}$

Cevap

İnceleme süresinin en fazla 2 hafta olma olasılığı

\frac{5}{12}

'dir.

Doğru yanıt olan

\frac{5}{12}

sonucuna ulaşmak için öncelikle fonksiyonun alt ve üst sınırları (

[1, 3]

) dikkate alınarak

c

sabiti

\frac{1}{6}

olarak bulunur. Ardından 'en fazla 2 hafta' (

X \le 2

) dendiği için fonksiyonun tanımlı olduğu alt sınır olan 1'den başlanarak 2'ye kadar integral alınır.

\int_{1}^{2} \frac{x+1}{6} dx = \frac{5}{12}

eşitliği sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) temel özelliği olan toplam alanın 1'e eşit olması kuralını kullanarak

c

sabitini hesaplamak.

\int_{1}^{3} c(x+1) dx = 1 \implies c \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{1}^{3} = 1 \implies c \left( (\frac{9}{2} + 3) - (\frac{1}{2} + 1) \right) = 1 \implies c(7.5 - 1.5) = 1 \implies 6c = 1 \implies c = \frac{1}{6}

Geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm tanım aralığındaki integrali 1 olmalıdır.

2

Bulunan

c

değerini fonksiyonda yerine koyup,

P(X \le 2)

olasılığını bulmak için 1'den 2'ye kadar integral almak.

\int_{1}^{2} \frac{1}{6}(x+1) dx = \frac{1}{6} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{1}^{2} = \frac{1}{6} \left( (\frac{4}{2} + 2) - (\frac{1}{2} + 1) \right) = \frac{1}{6} (4 - 1.5) = \frac{2.5}{6} = \frac{5}{12}

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralıktaki olasılık, olasılık yoğunluk fonksiyonunun o aralığın alt ve üst sınırlarına göre belirli integrali alınarak bulunur.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (PDF) ve İntegral ile Olasılık Hesabı

Rastgele Değişkenler ve Beklenen Değer

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm