Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirikimli Dağılım Fonksiyonu ve Özellikleri

Bir XX rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıdaki gibi verilmiştir:

F(x)={0,x<−1x+14,−1≤x<1x2+c8,1≤x<21,x≥2F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{x+1}{4}, & -1 \le x < 1 \\ \frac{x^2+c}{8}, & 1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}

Bu fonksiyonun geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonu olabilmesi için cc sabitinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

  1. A
    Yalnızca 33
  2. B
    [0,4][0, 4]
  3. [3,4][3, 4]Cevap
  4. D
    Yalnızca 44
  5. E
    [3,∞)[3, \infty)

Cevap

Geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonu için c sabitinin [3, 4] aralığında olması gerekir.
Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) geçerli olabilmesi için tüm tanım kümesinde azalmayan (non-decreasing) bir fonksiyon olması gerekir. Fonksiyonun tanımlı olduğu aralık geçişlerinde sağdan limit, soldan limite eşit veya ondan büyük olmalıdır (F(x+)≥F(x−)F(x^+) \ge F(x^-)).

1. x=1x = 1 noktasındaki geçişte: F(1)≥lim⁡x→1−F(x)  ⟹  12+c8≥1+14  ⟹  1+c8≥12  ⟹  c≥3F(1) \ge \lim_{x \to 1^-} F(x) \implies \frac{1^2+c}{8} \ge \frac{1+1}{4} \implies \frac{1+c}{8} \ge \frac{1}{2} \implies c \ge 3 bulunur.

2. x=2x = 2 noktasındaki geçişte: F(2)≥lim⁡x→2−F(x)  ⟹  1≥22+c8  ⟹  1≥4+c8  ⟹  c≤4F(2) \ge \lim_{x \to 2^-} F(x) \implies 1 \ge \frac{2^2+c}{8} \implies 1 \ge \frac{4+c}{8} \implies c \le 4 bulunur.

Bu iki koşulun kesişimi c∈[3,4]c \in [3, 4] aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) özelliklerini gözden geçirin.
CDF azalmayan (non-decreasing) bir fonksiyondur ve maksimum değeri 1'dir.
Olasılık değerleri negatif olamaz, bu yüzden aralık ilerledikçe toplam birikimli olasılık sadece artabilir veya sabit kalabilir.
2
x = 1 noktasındaki geçiş koşulunu (azalmama durumu) kontrol edin.
F(1)≥lim⁡x→1−F(x)F(1) \ge \lim_{x \to 1^-} F(x) eşitsizliğinden 12+c8≥1+14\frac{1^2+c}{8} \ge \frac{1+1}{4} yani 1+c8≥12  ⟹  c≥3\frac{1+c}{8} \ge \frac{1}{2} \implies c \ge 3 bulunur.
Fonksiyonun bu geçiş noktasında değerinin düşmemesi zorunludur.
3
x = 2 noktasındaki geçiş koşulunu kontrol edin.
F(2)≥lim⁡x→2−F(x)F(2) \ge \lim_{x \to 2^-} F(x) eşitsizliğinden 1≥22+c8  ⟹  8≥4+c  ⟹  c≤41 \ge \frac{2^2+c}{8} \implies 8 \ge 4+c \implies c \le 4 bulunur.
CDF değeri 1'i aşamayacağı için, x=2x=2 noktasına yaklaşırken fonksiyon en fazla 1 olabilir.
4
Bulunan eşitsizlikleri birleştirerek c'nin çözüm aralığını belirleyin.
c≥3c \ge 3 ve c≤4c \le 4 koşullarının kesişimi [3,4][3, 4] aralığıdır.
Fonksiyonun tüm noktalarda geçerli bir CDF olabilmesi için her iki sınır şartı da aynı anda sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Birikimli Dağılım Fonksiyonunun (CDF) Özellikleri (Azalmayan Yapı ve Sınır Değerleri)
Bu soruyu puanla

Konular

Birikimli Dağılım Fonksiyonu ve Özellikleri