Bir X rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıda verilmiştir: F(x) =… — KPSS İstatistik

Bir $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıda verilmiştir:

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{x}{8}, & 0 \leq x < 2 \\ \frac{x+3}{8}, & 2 \leq x < 4 \\ 1, & x \geq 4 \end{cases}

Buna göre, $P(X = 2) + P(1 < X \le 3)$ olasılık toplamı kaçtır?

İstenilen olasılık toplamı

1

'dir.

Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) özelliklerine göre nokta olasılıkları sıçrama miktarı ile bulunur.

F(2) = \frac{5}{8}

F(2^-) = \frac{2}{8}

olduğundan

P(X=2) = \frac{3}{8}

'tir. Aralık olasılığı

P(1 < X \le 3)

ise

F(3) - F(1)

bağıntısı ile hesaplanır.

F(3) = \frac{6}{8}

F(1) = \frac{1}{8}

olduğundan bu değer

\frac{5}{8}

çıkar. İki olasılığın toplamı

\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1

sonucunu verir.

P(X = 2)

nokta olasılığını hesaplayın.

P(X = 2) = \frac{3}{8}

Birikimli dağılım fonksiyonunda herhangi bir

x

noktasındaki olasılık, fonksiyonun o noktadaki değeri ile soldan limiti arasındaki farka (sıçrama miktarına) eşittir:

P(X = x) = F(x) - \lim_{h \to 0^+} F(x-h)

. Verilen fonksiyonda

x=2

için

F(2) = \frac{2+3}{8} = \frac{5}{8}

ve soldan limit

F(2^-) = \frac{2}{8}

olduğundan fark

\frac{3}{8}

'tir.

P(1 < X \le 3)

aralık olasılığını hesaplayın.

P(1 < X \le 3) = \frac{5}{8}

CDF'nin temel özelliği gereği aralık olasılıklarında

P(a < X \le b) = F(b) - F(a)

bağıntısı geçerlidir.

x=3

için 3. parçayı kullanarak

F(3) = \frac{3+3}{8} = \frac{6}{8}

x=1

için 2. parçayı kullanarak

F(1) = \frac{1}{8}

değerleri bulunur. Olasılık

\frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

'tir.

Bulunan iki olasılık değerini toplayın.

Toplam

= \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1

Soruda istenen toplam değere ulaşmak için

P(X=2)

nokta olasılığı ile aralık olasılığı toplanır.

Karma (Mixed) Rastgele Değişkenlerde CDF Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru