Bir zaman serisi analisti, yıllık olarak derlenen Y_t serisinin zaman grafiğinde yukarı yö… — KPSS İstatistik

Bir zaman serisi analisti, yıllık olarak derlenen $Y_t$ serisinin zaman grafiğinde yukarı yönlü doğrusal bir eğilim tespit etmiş ve seriyi durağanlaştırmak amacıyla birinci dereceden fark alma ( $\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$ ) işlemini uygulamıştır.

Farkı alınmış bu yeni seri için otokorelasyon fonksiyonu (ACF) hesaplandığında, birinci gecikme için otokorelasyon katsayısı $\rho_1 = -0.5$ olarak bulunmuş, izleyen gecikmelerde ( $k \geq 2$ ) ise katsayıların istatistiksel olarak sıfırdan farksız olduğu (aniden kesildiği) görülmüştür. Ayrıca, elde edilen yeni sürecin hareketli ortalama (MA) kısmına ait karakteristik denkleminin kökünün birim çember üzerinde yer aldığı belirlenmiştir.

Bu bulgular ışığında, orijinal $Y_t$ serisinin yapısı ve uygulanan işlem hakkında aşağıdakilerden hangisi kesin olarak söylenebilir?

Orijinal $Y_t$ serisi deterministik trende sahip (trend durağan) bir süreçtir ve seriye trendden arındırma yerine fark alma işlemi uygulandığı için aşırı fark alma (overdifferencing) problemi yaşanmıştır.Cevap
B
Orijinal $Y_t$ serisi birim kök barındıran stokastik trende (fark durağan) sahiptir ve fark alma işlemi sonucunda seri tamamen otokorelasyonsuz bir beyaz gürültü sürecine dönüştürülmüştür.
C
Elde edilen süreçte MA karakteristik denkleminin kökünün birim çember üzerinde olması, uygulanan işlemin seriyi tersinir kıldığını ancak durağanlık koşulunu bozduğunu göstermektedir.
D
Orijinal $Y_t$ serisi ikinci dereceden bütünleşik, $I(2)$ , bir süreçtir; bu nedenle birinci dereceden fark alma işlemi zayıf durağanlığı sağlamada yetersiz kalmıştır.
E
ACF grafiğinde katsayıların birinci gecikmeden sonra aniden sıfıra inmesi, uygulanan işlemin seriyi zayıf durağanlıktan çıkarıp kesin durağan bir sürece dönüştürdüğünü ispatlamaktadır.

Cevap

Araştırmacının incelediği orijinal seri deterministik trende sahip (trend durağan) bir süreçtir ve seriye trendden arındırma (regresyon) yerine gereksiz yere fark alma işlemi uygulandığı için tersinirliği bozan aşırı fark alma (overdifferencing) hatası yapılmıştır.

Deterministik bir trend modeline (

Y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \epsilon_t

) zamana göre regresyon (trendden arındırma) uygulamak yerine birinci dereceden fark alma işlemi (

1-B

) yapıldığında, elde edilen yeni seri

\Delta Y_t = \beta_1 + \epsilon_t - \epsilon_{t-1}

halini alır. Bu denklem,

\theta = 1

parametreli bir MA(1) sürecidir. Teorik olarak bu sürecin ACF değerleri

\rho_1 = -0.5

\rho_k = 0 \ (k \geq 2)

şeklindedir. Ayrıca

1 - \theta B = 0

denkleminden kök

B = 1

bulunur; bu da MA sürecinin kökünün birim çember üzerinde olduğunu ve tersinir olmadığını gösterir. Bu duruma ekonometride aşırı fark alma (overdifferencing) denmektedir ve orijinal serinin trend durağan olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

ACF bulgularından yararlanarak farkı alınmış serinin teorik modelini belirlemek.

Birinci gecikmede

\rho_1 = -0.5

olan ve sonrasında aniden sıfıra düşen ACF yapısı, serinin

\theta = 1

katsayılı bir MA(1) sürecine dönüştüğünü gösterir.

Sadece birinci gecikmede otokorelasyon barındıran ve sonrasında kesilen tek temel zaman serisi modeli birinci dereceden hareketli ortalama (MA(1)) modelidir.

Orijinal serinin Veri Üretim Sürecini (DGP) tespit etmek.

\Delta Y_t = \beta_1 + \epsilon_t - \epsilon_{t-1}

denklemini üreten orijinal seri deterministik trende sahip

Y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \epsilon_t

modelidir.

Eğer orijinal seri stokastik trende (rassal yürüyüş) sahip olsaydı, birinci fark alındığında otokorelasyonu olmayan saf bir beyaz gürültü serisi (

\epsilon_t

) elde edilirdi.

Karakteristik denklem ve tersinirlik (invertibility) durumunu analiz etmek.

Elde edilen MA(1) modeli için karakteristik denklem

1 - B = 0

şeklindedir ve kök

B=1

birim çember üzerinde yer aldığı için süreç tersinir değildir.

Tersinirliğin kaybolması, durağan bir seriye (veya deterministik trende) gereksiz yere fark alma işlemi uygulandığında ortaya çıkan aşırı fark alma (overdifferencing) durumunun matematiksel ispatıdır.

Anahtar Kavram

Deterministik trende sahip süreçlerde aşırı fark alma (overdifferencing) sonucu oluşan tersinir olmayan MA(1) yapısı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru