Examkin

Soru

Zorluk: OrtaI. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bir kamu araştırma projesinde incelenen bir sürecin f(x;θ)=θe−θx,x>0f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, x > 0 olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir üstel dağılımdan geldiği varsayılmaktadır. θ\theta parametresi için kurulan H0:θ=1H_0: \theta = 1 yokluk hipotezine karşı H1:θ=2H_1: \theta = 2 alternatif hipotezi, x≤0,5x \leq 0,5 ise H0H_0 reddedilir karar kuralı ile test edilmektedir. Buna göre, bu test sürecinde gerçekleşecek II. Tip hata (β\beta) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e−1e^{-1}Cevap
  2. B
    1−e−11 - e^{-1}
  3. C
    1−e−0,51 - e^{-0,5}
  4. D
    e−0,5e^{-0,5}
  5. E
    1−2e−11 - 2e^{-1}

Cevap

Yapılan integral hesabı sonucunda II. Tip hata olasılığı e−1e^{-1} olarak bulunur.
Doğru cevap olan ifade, alternatif hipotez (H1:θ=2H_1: \theta = 2) doğruyken, gözlemin kabul bölgesine (x>0,5x > 0,5) düşme olasılığını tam olarak temsil etmektedir. ∫0,5∞2e−2xdx\int_{0,5}^{\infty} 2e^{-2x} dx integralinin sonucu olan e−1e^{-1} değeri, bu testin II. Tip hata olasılığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
II. Tip hatanın (β\beta) tanımını belirleyin.
β=P(H0 kabul∣H1 dog˘ru)\beta = P(H_0 \text{ kabul} | H_1 \text{ doğru})
II. Tip hata, yanlış olan bir yokluk hipotezinin reddedilememesi durumudur.
2
Karar kuralına göre kabul bölgesini tespit edin.
Kabul Bölgesi: Cc={x:x>0,5}C^c = \{x : x > 0,5\}
Red bölgesi x≤0,5x \leq 0,5 olarak verildiğinden, bunun tümleyeni kabul bölgesini oluşturur.
3
H1H_1 hipotezi altındaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak olasılığı hesaplayın.
β=∫0,5∞2e−2xdx\beta = \int_{0,5}^{\infty} 2e^{-2x} dx
H1:θ=2H_1: \theta = 2 olduğu için integral bu parametre değeriyle alınmalıdır.
4
İntegrali çözerek sonucu bulun.
[−e−2x]0,5∞=0−(−e−2(0,5))=e−1[-e^{-2x}]_{0,5}^{\infty} = 0 - (-e^{-2(0,5)}) = e^{-1}
Üstel dağılımın integral kuralları uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

II. Tip hata (beta), alternatif hipotez (H1H_1) altında test istatistiğinin kabul bölgesine düşme olasılığıdır.

Daha Fazla Pratik

Örneklem çapı (nn) artırıldığında α\alpha sabit tutulurken β\beta ve testin gücünün nasıl değişeceğini inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

I. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bu konudan daha fazla soru