Examkin

Soru

Zorluk: ZorTersinirlik Kavramı ve Koşulları

Zaman serisi analizinde, bir sürecin gözlemlenebilir geçmiş değerleri cinsinden ifade edilebilmesi için modelin tersinir (invertible) olması; sürecin ortalama, varyans ve otokovaryans yapısının zaman içinde değişmemesi için ise durağan (stationary) olması gerekmektedir.

Buna göre, BB gecikme operatörünü (backshift operator) ve ϵt∼WN(0,σ2)\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) beyaz gürültü sürecini temsil etmek üzere, aşağıdaki Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) modellerinden hangisi hem durağan hem de tersinir bir süreci ifade etmektedir?

  1. (1−0,6B)Xt=(1−0,8B+0,1B2)ϵt(1 - 0,6B)X_t = (1 - 0,8B + 0,1B^2)\epsilon_tCevap
  2. B
    (1+0,4B)Xt=(1+1,2B−0,5B2)ϵt(1 + 0,4B)X_t = (1 + 1,2B - 0,5B^2)\epsilon_t
  3. C
    (1−1,5B)Xt=(1+0,5B+0,2B2)ϵt(1 - 1,5B)X_t = (1 + 0,5B + 0,2B^2)\epsilon_t
  4. D
    (1+1,1B)Xt=(1−0,3B+1,2B2)ϵt(1 + 1,1B)X_t = (1 - 0,3B + 1,2B^2)\epsilon_t
  5. E
    (1−0,8B)Xt=(1−2,5B+0,8B2)ϵt(1 - 0,8B)X_t = (1 - 2,5B + 0,8B^2)\epsilon_t

Cevap

Doğru seçenek (1−0,6B)Xt=(1−0,8B+0,1B2)ϵt(1 - 0,6B)X_t = (1 - 0,8B + 0,1B^2)\epsilon_t eşitliği ile verilen modeldir.
Verilen modeller birer ARMA(1,2) modelidir. Modelin durağan olması için (1−ϕ1B)(1 - \phi_1 B) şeklindeki AR polinomunda ∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1 olmalıdır. Tersinir olması için ise (1+θ1B+θ2B2)(1 + \theta_1 B + \theta_2 B^2) formatındaki MA(2) polinomunda şu üç şart aynı anda sağlanmalıdır: 1+θ1+θ2>01 + \theta_1 + \theta_2 > 0, 1−θ1+θ2>01 - \theta_1 + \theta_2 > 0 ve ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1. Doğru modelde ϕ1=0,6\phi_1 = 0,6, θ1=−0,8\theta_1 = -0,8 ve θ2=0,1\theta_2 = 0,1'dir. Tüm bu matematiksel sınır koşulları test edildiğinde yalnızca bu seçenek hem durağanlık hem de tersinirlik kurallarına uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ARMA modelleri için durağanlık (AR kısmı) koşulunu kontrol et.
AR(1) modeli olan (1−ϕ1B)Xt(1 - \phi_1 B)X_t formunda sürecin durağan olması için ∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1 olmalıdır.
Durağanlık, karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olmasını gerektirir; bu da AR(1) için katsayının mutlak değerce 1'den küçük olmasını zorunlu kılar.
2
Verilen ARMA modelleri için tersinirlik (MA kısmı) koşulunu kontrol et.
MA(2) modeli olan (1+θ1B+θ2B2)ϵt(1 + \theta_1 B + \theta_2 B^2)\epsilon_t formundaki karakteristik polinom P(B)P(B) için üç şart sağlanmalıdır: P(1)=1+θ1+θ2>0P(1) = 1 + \theta_1 + \theta_2 > 0, P(−1)=1−θ1+θ2>0P(-1) = 1 - \theta_1 + \theta_2 > 0 ve ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1.
Bir MA sürecinin sonsuz bir AR süreci olarak yazılabilmesi (tersinirlik) için MA karakteristik denkleminin kökleri birim çemberin dışında kalmalıdır.
3
Her iki koşulu aynı anda sağlayan seçeneği belirle.
Sadece (1−0,6B)Xt=(1−0,8B+0,1B2)ϵt(1 - 0,6B)X_t = (1 - 0,8B + 0,1B^2)\epsilon_t modelinde hem AR şartı (∣0,6∣<1|0,6| < 1) hem de MA şartları (1−0,8+0,1=0,3>01-0,8+0,1 = 0,3 > 0, 1+0,8+0,1=1,9>01+0,8+0,1 = 1,9 > 0 ve ∣0,1∣<1|0,1| < 1) tam olarak sağlanmaktadır.
Doğru seçenekte durağanlık ve tersinirlik testlerinin tamamı matematiksel olarak başarılı olmaktadır.

Anahtar Kavram

Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik
Bu soruyu puanla

Konular

Tersinirlik Kavramı ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru