Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNeyman-Pearson Lemması

Bir sismolog, belirli bir fay hattındaki mikro depremlerin sismik enerji salınımlarının logaritmik dönüşümünü incelemektedir. Bu dönüşüm değerlerinin, ortalaması 00 ve varyansı σ2\sigma^2 olan bir normal dağılıma (N(0,σ2)N(0, \sigma^2)) uyduğu kabul edilmektedir.

Sismolog, bölgedeki tektonik hareketliliğin arttığına dair şüpheleri üzerine, sismik enerji salınımlarındaki varyansın yükseldiğini test etmek istemektedir. Bunun için rastgele seçilen nn bağımsız mikro depreme ait ölçümler (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alınmıştır.

Sismolog, H0:σ2=1H_0: \sigma^2 = 1 yokluk hipotezini, H1:σ2=4H_1: \sigma^2 = 4 alternatif hipotezine karşı α\alpha anlamlılık düzeyinde test edecektir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu test için en güçlü (MP) testin red bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir? (k∗k^*, k1k_1 ve k2k_2 testin anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen sabitlerdir.)

  1. ∑i=1nXi2>k∗\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k^*Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi2<k∗\sum_{i=1}^{n} X_i^2 < k^*
  3. C
    ∑i=1n(Xi−Xˉ)2>k∗\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 > k^*
  4. D
    ∑i=1nXi>k∗\sum_{i=1}^{n} X_i > k^*
  5. E
    ∑i=1nXi2<k1 veya ∑i=1nXi2>k2\sum_{i=1}^{n} X_i^2 < k_1 \text{ veya } \sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k_2

Cevap

En güçlü testin red bölgesi ∑i=1nXi2>k∗\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k^* şeklindedir.
Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü testin red bölgesi L(H0)/L(H1)≤kL(H_0) / L(H_1) \leq k eşitsizliği ile bulunur. H0:σ2=1H_0: \sigma^2 = 1 ve H1:σ2=4H_1: \sigma^2 = 4 hipotezleri için olabilirlik oranı hesaplanıp logaritması alındığında −38∑Xi2≤c-\frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq c şekline dönüşür. Bu eşitsizlikte ∑Xi2\sum X_i^2'yi yalnız bırakmak için her iki taraf negatif bir sayı olan −38-\frac{3}{8}'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek ∑Xi2>k∗\sum X_i^2 > k^* nihai halini alır.

Adım Adım Çözüm

1
H0H_0 ve H1H_1 hipotezleri için olabilirlik (likelihood) fonksiyonlarını oluşturun.
L(1)=(2π)−n/2exp⁡(−12∑Xi2)L(1) = (2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2) ve L(4)=(8π)−n/2exp⁡(−18∑Xi2)L(4) = (8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)
Neyman-Pearson Lemması'nı uygulamak için her iki durumdaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarına (olabilirlik) ihtiyaç vardır.
2
Olabilirlik oranını (LR=L(H0)/L(H1)LR = L(H_0) / L(H_1)) hesaplayın.
LR=(2π)−n/2exp⁡(−12∑Xi2)(8π)−n/2exp⁡(−18∑Xi2)=4n/2exp⁡(−38∑Xi2)LR = \frac{(2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2)}{(8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)} = 4^{n/2} \exp(-\frac{3}{8} \sum X_i^2)
En güçlü testin red bölgesi, olabilirlik oranının belirli bir kk sabitinden küçük veya eşit olması kuralına dayanır.
3
Neyman-Pearson eşitsizliğini (LR≤kLR \leq k) çözerek ∑Xi2\sum X_i^2 terimini yalnız bırakın.
Her iki tarafın doğal logaritması alındığında: n2ln⁡(4)−38∑Xi2≤ln⁡(k)\frac{n}{2}\ln(4) - \frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq \ln(k). Buradan −38∑Xi2≤c-\frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq c (burada cc bir sabittir) elde edilir.
Test istatistiğini örneklem değerleri cinsinden daha sade bir eşitsizlik formuna dönüştürmek gerekir.
4
Eşitsizliği negatif katsayıdan kurtararak red bölgesinin nihai formunu belirleyin.
Eşitsizliğin her iki tarafı −83-\frac{8}{3} ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: ∑Xi2≥k∗\sum X_i^2 \geq k^*. Dağılım sürekli olduğu için kritik bölge ∑Xi2>k∗\sum X_i^2 > k^* olarak yazılır.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde/çarpıldığında eşitsizlik kuralları gereği yön değiştirir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması (Basit Hipotezlere Karşı Basit Hipotezler)
Bu soruyu puanla

Konular

Neyman-Pearson Lemması

Bu konudan daha fazla soru