Examkin

Soru

Zorluk: ZorWiener Süreci ve Kahverengi Hareket

{W(t),t≥0}\{W(t), t \geq 0\} standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olsun.

Buna göre, W(1)=3W(1) = 3 koşulu altında W(4)⋅W(2)W(4) \cdot W(2) çarpımının beklenen değeri, yani

E[\,W(4) \cdot W(2) \mid W(1) = 3\]

ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2
  2. B
    9
  3. 10Cevap
  4. D
    11
  5. E
    12

Cevap

Doğru sonuç 10 değeridir.
Sorunun çözümünde ilk olarak kule özelliği (tower property) ve Wiener sürecinin martingal özelliği kullanılır. E[\,W(4)W(2) \mid W(1)=3\] ifadesini bulmak için önce içeriden F2\mathcal{F}_2'ye göre koşullandırılır, bu da ifadeyi E[\,W(2)^2 \mid W(1)=3\] haline getirir. Wiener sürecinin bağımsız artışlar özelliğinden dolayı W(2)∣W(1)=3W(2) \mid W(1)=3 değişkeni N(3,1)N(3, 1) dağılımına sahiptir. İkinci moment formülünden (Var+E[X]2Var + E[X]^2), sonuç 1+32=101 + 3^2 = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu beklenen değeri hesaplamak için iç içe beklenti kuralını (Kule özelliği) uygulayın.
E[\,W(4)W(2) \mid W(1)=3\] = E[\, E[W(4)W(2) \mid \mathcal{F}_2] \mid W(1)=3 \]
Gelecekteki bir durum (W(4)W(4)) ile geçmiş bir durum (W(2)W(2)) arasındaki ilişkiyi çözmek için, ifadeyi önce t=2t=2 anındaki bilgi kümesine (filtrasyonuna) göre koşullandırarak sadeleştirebiliriz.
2
İçteki beklenen değeri hesaplarken, W(2)W(2)'yi dışarı çıkarın ve Wiener sürecinin martingal özelliğini kullanın.
E[\,W(4)W(2) \mid \mathcal{F}_2\] = W(2) \cdot E[\,W(4) \mid \mathcal{F}_2\] = W(2) \cdot W(2) = W(2)^2
W(2)W(2) rastgele değişkeni F2\mathcal{F}_2 altındayken bilinen bir sabittir. Ayrıca Wiener süreci bir martingal olduğu için gelecekteki bir değerin mevcut duruma göre beklentisi mevcut değere eşittir (E[W(4)∣F2]=W(2)E[W(4) \mid \mathcal{F}_2] = W(2)).
3
Elde edilen yeni ifadeyi W(1)=3W(1)=3 koşulu altında varyans formülüne göre açın.
Çözülecek ifade E[\,W(2)^2 \mid W(1)=3\] şekline gelir. Bu, Var(W(2) \mid W(1)=3) + (E[\,W(2) \mid W(1)=3\])^2 formülüne eşittir.
İkinci momenti (E[X2]E[X^2]) bulmak için, sürecin koşullu varyansı ile koşullu beklenen değerinin karesini toplamak gerekir.
4
Bağımsız artışlar kuralını kullanarak W(1)=3W(1)=3 koşulu altında W(2)W(2)'nin varyansını ve beklenen değerini belirleyin.
W(2)=(W(2)−W(1))+W(1)W(2) = (W(2) - W(1)) + W(1)'dir. W(2)−W(1)∼N(0,2−1)W(2) - W(1) \sim N(0, 2-1) olduğundan, E[\,W(2) \mid W(1)=3\] = 0 + 3 = 3 ve Var(W(2)∣W(1)=3)=1Var(W(2) \mid W(1)=3) = 1'dir.
Wiener sürecinde W(t)−W(s)W(t) - W(s) artışı, ss anına kadarki süreçten bağımsızdır ve varyansı (t−s)(t-s)'ye eşittir.
5
Bulunan değerleri adım 3'teki denklemde yerine koyarak nihai sonucu hesaplayın.
1+32=1+9=101 + 3^2 = 1 + 9 = 10.
Koşullu varyans (11) ve koşullu beklenen değerin karesinin (99) toplamı 10 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Wiener sürecinde martingal kuralı, bağımsız artışlar özelliği ve koşullu ikinci moment hesabı.

Daha Fazla Pratik

Geometrik Brownian Hareketinde beklenen değer ve varyans hesaplamalarını içeren soruları çözerek dönüşüm yeteneğinizi pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Wiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Bu konudan daha fazla soru