Examkin

Soru

Zorluk: OrtaWiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Finansal bir modellemede varlık fiyatlarının logaritmik getirileri standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) {W(t),t≥0}\{W(t), t \geq 0\} ile modellenmektedir.

Farklı zaman noktalarındaki süreç değerlerinin karelerinin birlikte nasıl değiştiğini incelemek için, t1=2t_1 = 2 ve t2=5t_2 = 5 anları temel alınmıştır.

Buna göre,
E[W(2)2W(5)2]E[W(2)^2 W(5)^2]
beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    6
  2. B
    10
  3. C
    14
  4. 18Cevap
  5. E
    28

Cevap

İki farklı zaman noktasındaki karelerin beklenen değeri 18'dir.
Standart Wiener sürecinde artışlar bağımsızdır ve her bir artış normal dağılıma sahiptir. E[W(2)2W(5)2]E[W(2)^2 W(5)^2] değeri hesaplanırken W(5)W(5) rastgele değişkeni bağımsız artış formunda W(2)+(W(5)−W(2))W(2) + (W(5)-W(2)) olarak ifade edilir. Yerine konulup karesi açıldığında ifade E[W(2)2(W(5)−W(2))2]+E[W(2)4]E[W(2)^2 (W(5)-W(2))^2] + E[W(2)^4] şekline dönüşür (çapraz terim olan artışın beklenen değeri sıfır olduğu için sadeleşir). W(2)∼N(0,2)W(2) \sim N(0, 2) ve W(5)−W(2)∼N(0,3)W(5)-W(2) \sim N(0, 3) olduğu bilindiğinden E[W(2)2]=2E[W(2)^2] = 2, E[(W(5)−W(2))2]=3E[(W(5)-W(2))^2] = 3 ve dördüncü moment formülünden E[W(2)4]=3(22)=12E[W(2)^4] = 3(2^2) = 12 olarak bulunur. Tüm veriler toplandığında 2×3+12=182 \times 3 + 12 = 18 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
W(5)W(5) sürecini bağımsız artışlar özelliğini kullanabilmek için W(2)W(2) ve W(5)−W(2)W(5)-W(2) cinsinden yazın.
E[W(2)2W(5)2]=E[W(2)2((W(5)−W(2))+W(2))2]E[W(2)^2 W(5)^2] = E[W(2)^2 ( (W(5)-W(2)) + W(2) )^2]
Wiener sürecinde kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışlar birbirinden bağımsızdır.
2
Parantez içindeki kare ifadesini açın ve beklenen değeri terimlere dağıtın.
E[W(2)2(W(5)−W(2))2]+2E[W(2)3(W(5)−W(2))]+E[W(2)4]E[W(2)^2 (W(5)-W(2))^2] + 2E[W(2)^3 (W(5)-W(2))] + E[W(2)^4]
Beklenen değerin doğrusallığı gereği toplamın beklenen değeri, beklenen değerlerin toplamına eşittir.
3
Bağımsızlık özelliğini kullanarak çarpımların beklenen değerlerini ayırın.
E[W(2)2]E[(W(5)−W(2))2]+2E[W(2)3]E[W(5)−W(2)]+E[W(2)4]E[W(2)^2]E[(W(5)-W(2))^2] + 2E[W(2)^3]E[W(5)-W(2)] + E[W(2)^4]
W(2)W(2) ile W(5)−W(2)W(5)-W(2) bağımsız olduğundan, çarpımlarının beklenen değeri, beklenen değerlerinin çarpımına eşittir.
4
Standart normal dağılımın momentlerini kullanarak hesaplamayı tamamlayın.
(2×3)+0+(3×22)=6+12=18(2 \times 3) + 0 + (3 \times 2^2) = 6 + 12 = 18
W(t)∼N(0,t)W(t) \sim N(0, t) olduğundan E[W(2)2]=2E[W(2)^2] = 2, E[W(2)4]=3(22)=12E[W(2)^4] = 3(2^2) = 12 ve W(5)−W(2)∼N(0,3)W(5)-W(2) \sim N(0, 3) olduğundan E[(W(5)−W(2))2]=3E[(W(5)-W(2))^2] = 3'tür.

Anahtar Kavram

Wiener Sürecinde Bağımsız Artışlar ve Ortak Momentler

Alternatif Yöntem

İki değişkenli ortak normal dağılıma sahip XX ve YY rastgele değişkenleri için dördüncü moment formülü olan E[X2Y2]=Var(X)Var(Y)+2[Cov(X,Y)]2E[X^2 Y^2] = \text{Var}(X)\text{Var}(Y) + 2[\text{Cov}(X,Y)]^2 eşitliği kullanılarak doğrudan (2×5)+2×(2)2=10+8=18(2 \times 5) + 2 \times (2)^2 = 10 + 8 = 18 sonucuna pratik şekilde ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Wiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Bu konudan daha fazla soru