Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı

Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı, iki farklı organize sanayi bölgesindeki (OSB) işletmelerin dijitalleşme düzeylerini karşılaştırmak amacıyla bağımsız rastgele örneklemler seçerek bir araştırma yapmıştır. Yapılan inceleme sonucunda Kurumsal Kaynak Planlaması (ERP) yazılımı kullanan işletmelere dair şu veriler elde edilmiştir:

OSB GrubuÖrneklem Büyüklüğü (nn)ERP Kullanan İşletme Sayısı (xx)
I. OSB500350
II. OSB500300

Buna göre, iki OSB arasındaki ERP kullanım oranları farkı (p1−p2p_1 - p_2) için %95 düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: z0,025=1,96z_{0,025} = 1,96 olarak alınız.)

  1. (0,0412 ; 0,1588)(0,0412 \,;\, 0,1588)Cevap
  2. B
    (0,0409 ; 0,1591)(0,0409 \,;\, 0,1591)
  3. C
    (0,0507 ; 0,1493)(0,0507 \,;\, 0,1493)
  4. D
    (0,0216 ; 0,1784)(0,0216 \,;\, 0,1784)
  5. E
    (0,1412 ; 0,2588)(0,1412 \,;\, 0,2588)

Cevap

İki kitle oranı farkı için %95 güven aralığı (0,0412 ; 0,1588) olarak hesaplanır.
Oranlar farkı için güven aralığı (p^1−p^2)±zα/2⋅p^1q^1n1+p^2q^2n2(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1} + \frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}} formülüyle hesaplanır. Hesaplamalar sonucunda nokta tahmini 0,100,10 ve standart hata 0,030,03 olarak bulunduğundan, 0,10±1,96(0,03)0,10 \pm 1,96(0,03) işlemi (0,0412 ; 0,1588)(0,0412 \,;\, 0,1588) aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem oranlarını hesaplayınız.
p^1=350500=0,70\hat{p}_1 = \frac{350}{500} = 0,70 ve p^2=300500=0,60\hat{p}_2 = \frac{300}{500} = 0,60
Güven aralığı oluşturmak için öncelikle kitle oranlarının nokta tahmin edicilerine ihtiyaç duyulur.
2
Oranlar farkının nokta tahminini bulunuz.
p^1−p^2=0,70−0,60=0,10\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0,70 - 0,60 = 0,10
Güven aralığı, bu farkın etrafında simetrik bir yapı oluşturacaktır.
3
Farkın standart hatasını hesaplayınız.
SE=0,7×0,3500+0,6×0,4500=0,00042+0,00048=0,0009=0,03SE = \sqrt{\frac{0,7 \times 0,3}{500} + \frac{0,6 \times 0,4}{500}} = \sqrt{0,00042 + 0,00048} = \sqrt{0,0009} = 0,03
İki bağımsız örneklem oranı farkının varyansı, tekil varyansların toplamına eşittir.
4
Hata payını (Margin of Error) belirleyiniz.
ME=z0,025×SE=1,96×0,03=0,0588ME = z_{0,025} \times SE = 1,96 \times 0,03 = 0,0588
%95 güven düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri kullanılır.
5
Güven sınırlarını oluşturunuz.
(0,10−0,0588)<p1−p2<(0,10+0,0588)⇒(0,0412 ; 0,1588)(0,10 - 0,0588) < p_1 - p_2 < (0,10 + 0,0588) \Rightarrow (0,0412 \,;\, 0,1588)
Alt ve üst sınırlar, nokta tahminine hata payının eklenip çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

İki kitle oranı farkı (p1−p2p_1 - p_2) için aralık tahmini yapılırken, örneklem hacmi büyük olduğunda (n1,n2>30n_1, n_2 > 30) standart normal dağılım (ZZ) yaklaşımı kullanılır ve standart hata örneklem oranları üzerinden tahmin edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru