Bir üniversitede yürütülen projede, hanehalkı tüketim harcamalarını (Y) etkileyen faktörle… — KPSS İstatistik

Bir üniversitede yürütülen projede, hanehalkı tüketim harcamalarını ( $Y$ ) etkileyen faktörleri incelemek üzere $34$ haneden oluşan bir örneklem derlenmiştir. Bu analizde hanehalkı geliri ( $X_1$ ), hanehalkı büyüklüğü ( $X_2$ ) ve hanedeki çalışan sayısı ( $X_3$ ) olmak üzere üç açıklayıcı değişken sisteme dahil edilmiş ve sabit terimin de yer aldığı çoklu doğrusal regresyon modeli En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmiştir.

Elde edilen bulgulara göre;
- Modelin hata kareler ortalaması ( $s^2$ ) $20$ olarak hesaplanmıştır.
- Parametre tahmin vektörüne ait varyans-kovaryans matrisinin hesaplanmasında temel alınan $(X'X)^{-1}$ matrisinin asal köşegen elemanları sırasıyla (sabit terimden başlayarak) $0,15$ , $0,25$ , $0,20$ ve $0,40$ olarak bulunmuştur.
- Hanehalkı büyüklüğü ( $X_2$ ) değişkenine ait kısmi eğim katsayısı tahmini $\hat{\beta}_2 = 6,0$ olarak elde edilmiştir.

Bu bilgilere göre, hanehalkı büyüklüğü değişkeninin modeldeki istatistiksel anlamlılığını test etmek amacıyla hesaplanacak t-istatistiği ve bu testin serbestlik derecesi (sd) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

A
$t = 1,5$ ve $sd = 30$
B
$t = 3,0$ ve $sd = 31$
$t = 3,0$ ve $sd = 30$ Cevap
D
$t = 1,5$ ve $sd = 31$
E
$t = 30,0$ ve $sd = 30$

Cevap

Doğru yanıt, t-istatistiğinin 3,0 ve serbestlik derecesinin 30 olduğunu gösteren seçenektir.

Çoklu doğrusal regresyon analizinde bir katsayının varyansı, o modelin hata kareler ortalaması (MSE veya

s^2

) ile tasarım matrisinin tersinin (

(X'X)^{-1}

) katsayıya karşılık gelen köşegen elemanının çarpımıyla bulunur.

X_2

'ye ait köşegen elemanı 0,20 olduğundan varyans

20 \times 0,20 = 4,0

ve standart hata

\sqrt{4,0} = 2,0

çıkar. İlgili katsayı (

6,0

) standart hataya (

2,0

) bölündüğünde t-istatistiği 3,0 olur. Modele 3 açıklayıcı değişken ve 1 sabit terim olmak üzere toplam 4 parametre dahil edildiği için, hata serbestlik derecesi

34 - 4 = 30

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Serbestlik derecesini hesapla

sd = 30

Gözlem sayısı

n = 34

ve modeldeki toplam parametre sayısı (üç açıklayıcı değişken + sabit terim)

p = 4

'tür. Regresyon modellerinde hata terimlerine ait serbestlik derecesi

n - p = 34 - 4 = 30

olarak bulunur.

İlgili katsayının varyansını hesapla

Var(\hat{\beta}_2) = 4,0

Çoklu regresyonda katsayıların varyans-kovaryans matrisi

Var(\hat{\beta}) = s^2(X'X)^{-1}

formülü ile elde edilir. İkinci değişken olan

X_2

'nin sabit terimden sonra gelen 3. parametre (indeks 2) olduğunu dikkate alarak, hata kareler ortalaması (

s^2 = 20

) ile 3. köşegen elemanı (

0,20

) çarpılır:

20 \times 0,20 = 4,0

Katsayının standart hatasını bul

S_{\hat{\beta}_2} = 2,0

Standart hata (SE), varyansın kareköküne eşittir. Bu nedenle, hesaplanan varyansın karekökü alınır:

\sqrt{4,0} = 2,0

Anlamlılık testi için t-istatistiğini hesapla

t = 3,0

t-istatistiği, tahmin edilen katsayı değerinin kendi standart hatasına bölünmesiyle elde edilir:

t = \frac{\hat{\beta}_2}{S_{\hat{\beta}_2}} = \frac{6,0}{2,0} = 3,0

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Regresyon Modelinde Parametre Tahminlerinin Varyansı ve Anlamlılık Testleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru