Examkin

Soru

Zorluk: KolayOlasılık İntegral Dönüşümü

Sürekli bir XX rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu F(x)F(x) ile gösterilmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) teoremine göre, Y=F(X)Y = F(X) olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Standart Normal Dağılım
  2. (0,1)(0, 1) aralığında Sürekli Düzgün DağılımCevap
  3. C
    Parametresi λ=1\lambda=1 olan Üstel Dağılım
  4. D
    (0,1)(0, 1) aralığında Kesikli Düzgün Dağılım
  5. E
    (−1,1)(-1, 1) aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Cevap

(0,1)(0, 1) aralığında Sürekli Düzgün Dağılım
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (FF) altındaki dönüşümü, parametrelerinden bağımsız olarak her zaman Standart Düzgün Dağılım (U(0,1)U(0, 1)) verir. Bunun nedeni, P(F(X)≤y)P(F(X) \leq y) olasılığının doğrudan yy değerine eşit çıkmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Y=F(X)Y = F(X) rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (G(y)G(y)) tanımlayın.
G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)G(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)
Bir rastgele değişkenin dağılımını belirlemenin en temel yolu onun birikimli dağılım fonksiyonunu bulmaktır.
2
F(x)F(x) fonksiyonunun tersini alarak eşitsizliği XX cinsinden ifade edin.
P(X≤F−1(y))P(X \leq F^{-1}(y)) ve bu ifade F(F−1(y))F(F^{-1}(y)) değerine eşittir.
Olasılık integral dönüşümünde F(x)F(x) monoton artan bir fonksiyon olduğu için tersi mevcuttur ve eşitsizliğin yönü değişmez.
3
Elde edilen birikimli dağılım değerini hesaplayın ve sonucu yorumlayın.
G(y)=yG(y) = y (burada 0<y<10 < y < 1)
G(y)=yG(y) = y fonksiyonu, (0,1)(0, 1) aralığındaki Sürekli Düzgün Dağılımın birikimli dağılım fonksiyonudur.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

İpuçları

1
Birikimli dağılım fonksiyonu F(x)F(x)'in alabileceği değer aralığını düşünün.
2
Y=F(X)Y = F(X) ise P(Y≤y)P(Y \leq y) olasılığını P(X≤F−1(y))P(X \leq F^{-1}(y)) şeklinde yazmayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Bu teoremin tersi olan 'Ters Dönüşüm Yöntemi'nin (Inverse Transform Sampling) simülasyonlarda nasıl kullanıldığını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Teoremi doğrudan hatırlamak en hızlı yoldur: Bir sürekli değişken kendi CDF'si ile dönüştürülürse sonuç her zaman U(0,1)U(0,1) olur.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık İntegral Dönüşümü

Bu konudan daha fazla soru