Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir teknoloji firmasının özel müşteri destek hattında tek bir uzman personel hizmet vermektedir. Sistemin santral altyapısı, personelle görüşen müşteri dahil olmak üzere hatta en fazla 33 çağrıyı barındırabilecek kapasitededir (Sistem kapasitesi K=3K=3).

Müşteri aramaları saatte ortalama 1212 çağrı olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gerçekleşmektedir. Personelin bir çağrıya hizmet verme süresi üstel dağılıma uymakta olup ortalama 55 dakikadır.

Buna göre, sisteme girmeyi başarıp hizmet alan müşterilerin saatlik ortalama sayısı (efektif varış hızı, λeff\lambda_{eff}) ve sistemde beklenen ortalama müşteri sayısı (LL) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 99 ve 1.51.5Cevap
  2. B
    1212 ve 1.51.5
  3. C
    99 ve 0.750.75
  4. D
    33 ve 1.51.5
  5. E
    1212 ve 33

Cevap

Sistemin efektif varış hızı 99 çağrı/saat ve sistemde beklenen ortalama müşteri sayısı 1.51.5'tir.
Verilen soruda varış hızı (λ=12\lambda=12) ve hizmet hızı (μ=12\mu=12) birbirine eşittir, dolayısıyla ρ=1\rho=1'dir. Sonlu kapasiteli kuyruk modellerinde ρ=1\rho=1 olduğunda özel formüller devreye girer. Sistemin tam dolu olma olasılığı PK=1/(K+1)P_K = 1/(K+1) formülü ile hesaplanır. K=3K=3 olduğundan P3=0.25P_3 = 0.25 olur. Sistemin efektif varış hızı, gelen çağrıların reddedilmeyen kısmıdır: λeff=12×(1−0.25)=9\lambda_{eff} = 12 \times (1 - 0.25) = 9 çağrı/saat. Sistemdeki beklenen müşteri sayısı ise ρ=1\rho=1 olduğu durumda kapasitenin tam yarısıdır: L=K/2=3/2=1.5L = K/2 = 3/2 = 1.5. Doğru değerler 99 ve 1.51.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parametreleri belirleme ve aynı zaman birimine dönüştürme.
λ=12\lambda = 12 çağrı/saat, μ=60/5=12\mu = 60 / 5 = 12 çağrı/saat, kapasite K=3K = 3.
Trafik yoğunluğunu hesaplayabilmek için varış ve hizmet hızlarının ikisinin de saatlik cinsinden ifade edilmesi gerekir.
2
Trafik yoğunluğunu (sistem kullanım oranını, ρ\rho) hesaplama.
ρ=λμ=1212=1\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{12}{12} = 1
ρ=1\rho=1 durumu, (M/M/1/K) modelinde olasılık ve sistem uzunluğu hesaplamaları için farklı özel formüllerin kullanımını gerektirir.
3
Sistemin dolu olma olasılığını (PKP_K) hesaplama.
ρ=1\rho = 1 olduğu için PK=P3=1K+1=13+1=0.25P_K = P_3 = \frac{1}{K+1} = \frac{1}{3+1} = 0.25
Sistem dolu olduğunda gelen müşteriler reddedilir. Sisteme gerçekten katılan müşteri oranını bulmak için reddedilme olasılığı hesaplanmalıdır.
4
Efektif varış hızını (λeff\lambda_{eff}) hesaplama.
λeff=λ(1−PK)=12×(1−0.25)=12×0.75=9\lambda_{eff} = \lambda(1 - P_K) = 12 \times (1 - 0.25) = 12 \times 0.75 = 9 çağrı/saat.
Little Teoremi ve diğer performans ölçütlerinde nominal varış hızı değil, sadece sisteme girmeyi başaranların hızı (efektif hız) kullanılır.
5
Sistemde beklenen ortalama müşteri sayısını (LL) hesaplama.
ρ=1\rho = 1 olduğu için sistemdeki müşteri sayısı L=K2=32=1.5L = \frac{K}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 müşteri.
Trafik yoğunluğu tam olarak 1'e eşit olduğunda, (M/M/1/K) modelinde sistemdeki ortalama müşteri sayısı her zaman kapasitenin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) modelinde trafik yoğunluğunun 1'e eşit olduğu (ρ=1\rho=1) durumlarda temel performans ölçütlerinin ve efektif varış hızının hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru