Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇoklu Doğrusal Regresyon Modeli ve Varsayımları

Bir ekonometri araştırmacısı, Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+uY = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + u şeklindeki çoklu doğrusal regresyon modelini n=150n=150 gözlem kullanarak En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiş ve varsayımların geçerliliğini sınadığında şu bulguları elde etmiştir:

I. X1X_1 ve X2X_2 bağımsız değişkenleri arasında r=0,94r = 0,94 düzeyinde yüksek bir doğrusal ilişki bulunmaktadır.
II. Hata terimlerinin varyansının sabit olmadığı ve X3X_3 değişkeninin değerlerine bağlı olarak sistematik biçimde değiştiği (değişen varyans) tespit edilmiştir.
III. Hata terimlerinin normal dağıldığına ilişkin sıfır hipotezi reddedilememiştir.

Bu bulgular ışığında, tahmin edilen modelin EKK tahmin edicileri (β^\hat{\beta}) ve istatistiksel çıkarsamaları hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Tahmin edilen tüm katsayılar sapmasızlık özelliğini korur; ancak değişen varyans problemi nedeniyle EKK tahmin edicileri etkinliklerini kaybeder ve klasik standart hatalar kullanılarak yapılan hipotez testleri geçersiz hale gelir.Cevap
  2. B
    X1X_1 ile X2X_2 arasındaki yüksek çoklu doğrusal bağlantı, bu değişkenlere ait katsayı tahminlerinin (β^1\hat{\beta}_1 ve β^2\hat{\beta}_2) sapmalı (biased) ve tutarsız olmasına neden olur.
  3. C
    Hata terimlerinin normal dağılması Gauss-Markov teoreminin ön koşulunu sağladığından, değişen varyans bulunmasına rağmen EKK tahmin edicileri En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici (BLUE) özelliğini sürdürür.
  4. D
    Çoklu doğrusal bağlantı problemi modelin genel anlamlılığını sınayan F-testini geçersiz kılarken, katsayıların standart hatalarını küçülterek bireysel t-testlerinin güvenilirliğini artırır.
  5. E
    Çoklu bağlantı problemini çözmek için X1X_1 veya X2X_2 değişkenlerinden birinin modelden dışlanması, serbestlik derecesini artıracağı için düzeltilmiş belirleme katsayısının (Rˉ2\bar{R}^2) her koşulda artmasını sağlar.

Cevap

EKK tahmin edicilerinin sapmasızlıklarını koruduğu, ancak değişen varyans nedeniyle etkinliklerini yitirerek klasik t ve F testlerinin geçersiz hale geldiği seçenektir.
Gauss-Markov teoremine göre, değişen varyans (heteroskedastisite) ve çoklu doğrusal bağlantı problemlerinin hiçbiri EKK tahmin edicilerinin sapmasızlığını (unbiasedness) ve tutarlılığını bozmaz. Modeldeki X1X_1 ve X2X_2 arasındaki yüksek korelasyon yalnızca katsayıların varyansını şişirir. Ancak, hata varyansının sabit olmaması (değişen varyans) EKK tahmin edicilerinin 'En İyi' (minimum varyanslı/etkin) olma özelliğini ortadan kaldırır. Değişen varyans durumunda, klasik EKK varyans-kovaryans matrisi formülü (s2(X′X)−1s^2(X'X)^{-1}) gerçek varyansı yansıtmaz ve sapmalı hale gelir. Bu nedenle, yanlış hesaplanan standart hatalara dayanan klasik t ve F hipotez testleri istatistiksel olarak geçersiz (güvenilmez) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Çoklu doğrusal bağlantının etkilerinin değerlendirilmesi
Katsayıların varyansı şişer ancak EKK tahmin edicileri sapmasız ve tutarlı kalmaya devam eder.
Çoklu doğrusal bağlantı, bağımsız değişkenler ile hata terimi arasındaki ilişkisizlik (E(u∣X)=0E(u|X)=0) varsayımını ihlal etmez.
2
Değişen varyans (heteroskedastisite) probleminin etkilerinin incelenmesi
EKK tahmin edicileri sapmasız kalır ancak minimum varyanslı (En İyi - Etkin) olma özelliğini yitirir.
Sabit varyans varsayımı (Var(u)=σ2IVar(u)=\sigma^2 I) ihlal edildiğinde EKK, BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici) özelliğini kaybeder ve varyans matrisi değişir.
3
Standart hatalardaki sapmanın hipotez testlerine yansımasının belirlenmesi
Klasik formüllerle hesaplanan standart hatalar güvenilmez olduğundan, bunlara dayalı olarak yapılan t ve F testleri geçersiz olur.
Değişen varyans altında klasik s2(X′X)−1s^2(X'X)^{-1} formülü gerçek varyansı yansıtmaz, bu nedenle hesaplanan t ve F istatistikleri doğru dağılıma uymaz.
4
Hata terimlerinin normal dağılması bulgusunun rolünün analizi
Normallik varsayımının sağlanması, değişen varyansın yarattığı problemleri ortadan kaldırmaz.
Normallik sadece küçük örneklemlerde küresel hatalar altındaki kesin test dağılımları için gereklidir; Gauss-Markov teoreminin sapmasızlık veya etkinlik garantisi için bir şart değildir.

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Regresyon Modelinde Varsayım İhlallerinin (Değişen Varyans ve Çoklu Bağlantı) EKK Tahmin Edicilerine Etkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Çoklu Doğrusal Regresyon Modeli ve Varsayımları

Bu konudan daha fazla soru