Bir devlet kurumunun veri analitiği departmanında çalışan bir istatistikçi, belirli bir bö… — KPSS İstatistik

Bir devlet kurumunun veri analitiği departmanında çalışan bir istatistikçi, belirli bir bölgede gün içinde gerçekleşen acil çağrı sayılarını modellemek için parametresi $\lambda$ olan Poisson dağılımını kullanmaktadır. İstatistikçi, $\lambda$ parametresini tahmin etmek için başlangıçta sadece ilk günkü çağrı sayısını ( $T = X_1$ ) yansız bir tahmin edici olarak belirlemiştir. Daha sonra, elde edilen tüm $n$ günlük çağrıların toplamının ( $S = \sum_{i=1}^n X_i$ ) $\lambda$ için yeterli (sufficient) bir istatistik olduğunu fark etmiştir.

İstatistikçi, modelin verimliliğini artırmak amacıyla Rao-Blackwell teoremini uygulamış ve $T$ tahmin edicisini $S$ yeterli istatistiği üzerine koşullandırarak yeni bir $T^* = E[T | S]$ tahmin edicisi elde etmiştir.

Buna göre, istatistikçinin elde ettiği bu yeni $T^*$ tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$T^*$ tahmin edicisi $\lambda$ için yansızlığını korur ve varyansı başlangıçtaki $X_1$ tahmin edicisinin varyansından daha küçüktür veya ona eşittir.Cevap
B
Koşullandırma işlemi $T^*$ 'ı yanlı (biased) bir tahmin ediciye dönüştürdüğünden, tahmin edicinin performansı varyans yerine Hata Kareler Ortalaması (MSE) ile ölçülür.
C
$T^*$ 'ın yansız bir tahmin edici olarak kalabilmesi ve varyansının küçülebilmesi için, $S$ istatistiğinin mutlaka tam (complete) bir istatistik olma şartını sağlaması gerekir.
D
$T^*$ 'ın hesaplanabilmesi için, Neyman çarpanlara ayırma denklemindeki yalnızca gözlemlere bağlı olan çarpanın $\lambda$ parametresini içermesi zorunludur.
E
$T^*$ tahmin edicisi varyans açısından iyileştirilmiş olduğundan, örneklem çapından ( $n$ ) bağımsız olarak her zaman tutarlı (consistent) bir tahmin edicidir.

Cevap

Rao-Blackwell teoremine göre elde edilen yeni tahmin edici, başlangıçtaki tahmin edicinin yansızlık özelliğini korurken varyansını düşürür (veya aynı bırakır).

Rao-Blackwell teoremi tam olarak bu durumu açıklar: Eğer

\theta

için yansız bir

T

tahmin edicisi ve yeterli bir

S

istatistiği varsa,

T^* = E[T|S]

tahmin edicisi de

\theta

için yansızdır (

E[T^*]=\theta

) ve varyansı başlangıçtaki tahmin ediciden küçük veya ona eşittir (

Var(T^*) \leq Var(T)

Adım Adım Çözüm

Yansızlık özelliğinin matematiksel olarak kontrol edilmesi.

E[T^*] = E[E[T|S]] = E[T] = \lambda

eşitliği elde edilir.

Beklenen değerin beklenen değeri kuralı (Law of Iterated Expectations) gereğince, koşullu beklenen değerin de beklenen değeri alındığında yansızlık bozulmaz.

Varyans değişiminin analiz edilmesi.

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)]

denklemi kurularak

Var(T) = Var(T^*) + E[Var(T|S)]

yazılır.

Varyansın parçalanması kuralına göre

E[Var(T|S)] \geq 0

olduğundan, zorunlu olarak

Var(T^*) \leq Var(T)

eşitsizliği sağlanır.

Teoremin sınırlarının ve ek koşullarının değerlendirilmesi.

Tamlık (completeness) veya asimptotik tutarlılık gibi ek özelliklerin bu aşamada zorunlu olmadığı belirlenir.

Rao-Blackwell teoremi sadece yeterli (sufficient) bir istatistik gerektirir; tamlık şartı, tahmin edicinin UMVUE olmasını hedefleyen Lehmann-Scheffe teoreminin bir gereksinimidir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Tahmin Edicilerin Özellikleri

Tahmini Süre:1m 15s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru