Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Karayolları Genel Müdürlüğü (KGM) tarafından yürütülen bir yol yapım çalışmasında, serilen asfaltın kalınlığındaki değişkenlik incelenmektedir. Kalınlığın normal dağıldığı varsayımı altında, otoyolun farklı kesimlerinden rastgele seçilen 1313 noktada yapılan ölçümler sonucunda örneklem varyansı s2=9 cm2s^2 = 9 \, \text{cm}^2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, otoyol genelindeki asfalt kalınlığı varyansı (σ2\sigma^2) için %95\%95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: χ0,025;122=23,337\chi^2_{0,025; 12} = 23,337 ve χ0,975;122=4,404\chi^2_{0,975; 12} = 4,404; χ0,025;132=24,736\chi^2_{0,025; 13} = 24,736 ve χ0,975;132=5,009\chi^2_{0,975; 13} = 5,009)

  1. [4,63 ; 24,52][4,63 \, ; \, 24,52] houseCevap
  2. B
    [5,01 ; 26,57][5,01 \, ; \, 26,57] house
  3. C
    [4,37 ; 21,56][4,37 \, ; \, 21,56] house
  4. D
    [2,15 ; 4,95][2,15 \, ; \, 4,95] house
  5. E
    [24,52 ; 4,63][24,52 \, ; \, 4,63] house

Cevap

Asfalt kalınlığı varyansı için %95\%95 güven aralığı [4,63 ; 24,52][4,63 \, ; \, 24,52] olarak bulunur.
Verilen örneklem varyansı 99, örneklem hacmi 1313 ve %95\%95 güven düzeyi için serbestlik derecesi 1212 olarak alınır. Formülde (n−1)s2=108(n-1)s^2 = 108 değeri, tablodaki χ0,025;122=23,337\chi^2_{0,025; 12} = 23,337 değerine bölündüğünde alt sınır 4,634,63; χ0,975;122=4,404\chi^2_{0,975; 12} = 4,404 değerine bölündüğünde ise üst sınır 24,5224,52 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Serbestlik derecesini ve güven düzeyine uygun kritik değerleri belirle.
n=13⇒sd=12n=13 \Rightarrow sd = 12. %95\%95 güven düzeyi için α=0,05\alpha = 0,05 ve α/2=0,025\alpha/2 = 0,025 olur. Tablo değerleri: χ0,025;122=23,337\chi^2_{0,025; 12} = 23,337 ve χ0,975;122=4,404\chi^2_{0,975; 12} = 4,404.
Varyans için güven aralığı pivot fonksiyonu olan (n−1)s2σ2∼χn−12\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} dağılımına dayanır.
2
Güven aralığı formülünü kur ve değerleri yerine yaz.
Alt Sınır: (13−1)×923,337=10823,337≈4,6278\frac{(13-1) \times 9}{23,337} = \frac{108}{23,337} \approx 4,6278; Üst Sınır: (13−1)×94,404=1084,404≈24,5231\frac{(13-1) \times 9}{4,404} = \frac{108}{4,404} \approx 24,5231.
Varyans aralığında küçük kritik değer büyük paydaya, büyük kritik değer ise küçük paydaya gelerek aralık sınırlarını belirler.
3
Sonuçları yuvarlayarak aralık şeklinde ifade et.
[4,63 ; 24,52][4,63 \, ; \, 24,52] house
Standart gösterim olarak virgülden sonra iki basamak hassasiyetle aralık sunulur.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı Hesaplama

Daha Fazla Pratik

Varyans bilinmediğinde kitle ortalaması için T-dağılımı kullanılarak oluşturulan güven aralıklarını inceleyiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru