Examkin

Soru

Zorluk: KolayDeğişkenlerin Fark, Çarpım ve Bölüm Dağılımları

İstatistiksel modelleme çalışmalarında kullanılan XX ve YY rastgele değişkenleri, [0,1][0, 1] aralığında bağımsız düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu iki değişkenin çarpımı ile tanımlanan U=XYU = XY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fU(u)f_U(u), 0<u<10 < u < 1 aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −ln⁡u-\ln uCevap
  2. B
    11
  3. C
    uu
  4. D
    e−ue^{-u}
  5. E
    1u\frac{1}{u}

Cevap

Bağımsız iki düzgün değişkenin çarpımının olasılık yoğunluk fonksiyonu −ln⁡u-\ln u şeklindedir.
Bağımsız iki [0,1][0, 1] düzgün değişkenin çarpımı olan U=XYU=XY için yapılan dönüşümde ∣J∣=1/v|J|=1/v çarpanı gelir. Ortak yoğunluk 1/v1/v ifadesinin vv değişkeninin tanımlı olduğu [u,1][u, 1] aralığında integre edilmesiyle elde edilen −ln⁡u-\ln u sonucu, bu tür temel çarpım dönüşümlerinin standart sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleyin.
fX,Y(x,y)=1⋅1=1f_{X,Y}(x, y) = 1 \cdot 1 = 1, (0<x,y<10 < x, y < 1)
Değişkenler bağımsız olduğu için ortak yoğunluk, marjinal yoğunlukların çarpımıdır.
2
Değişken dönüşümü ve Jakobiyen determinantını hesaplayın.
U=XY,V=X⇒X=V,Y=U/VU = XY, V = X \Rightarrow X = V, Y = U/V ve ∣J∣=1/v|J| = 1/v
Çok değişkenli dönüşüm yönteminde yeni değişkenlerin ortak yoğunluğunu bulmak için Jakobiyen çarpanı gereklidir.
3
Yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu (fU,Vf_{U,V}) yazın.
fU,V(u,v)=fX,Y(v,u/v)⋅∣J∣=1⋅(1/v)=1/vf_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}(v, u/v) \cdot |J| = 1 \cdot (1/v) = 1/v
Dönüşüm formülü uygulanarak UU ve yardımcı değişken VV'nin ortak dağılımı elde edilir.
4
VV üzerinden integral alarak UU'nun marjinal yoğunluğunu bulun.
fU(u)=∫u11vdv=[ln⁡v]u1=ln⁡1−ln⁡u=−ln⁡uf_U(u) = \int_u^1 \frac{1}{v} dv = [\ln v]_u^1 = \ln 1 - \ln u = -\ln u
0<u/v<1⇒v>u0 < u/v < 1 \Rightarrow v > u olduğundan integral sınırları uu ile 11 arasındadır.

Anahtar Kavram

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin çarpımının dağılımı ve Jakobiyen yöntemi.

Daha Fazla Pratik

Bağımsız standart normal değişkenlerin oranı olan X/YX/Y ifadesinin Cauchy dağılımına sahip olduğunu kanıtlamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişkenlerin Fark, Çarpım ve Bölüm Dağılımları