İstatistiksel veri analizi yapan bir araştırmacı, gözlemlenen X_1, X_2, \dots, X_n rastgel… — KPSS İstatistik

İstatistiksel veri analizi yapan bir araştırmacı, gözlemlenen $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini kullanarak kitle varyansını ( $\sigma^2$ ) incelemektedir. İlgili kitlenin ortalaması ( $\mu$ ) ve varyansı ( $\sigma^2$ ) kesin olarak bilinmemektedir.

Araştırmacı analizleri sırasında aşağıdaki üç farklı matematiksel fonksiyonu formüle etmiştir:

T_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

T_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2

T_3 = 10

Teorik istatistik prensipleri kapsamında; fonksiyonların "istatistik" olma ve geçerli bir "nokta tahmin edicisi" (point estimator) olarak kullanılabilme uygunlukları değerlendirildiğinde aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$T_1$ ve $T_3$ bilinmeyen kitle parametreleri içermedikleri için birer istatistiktir ve potansiyel tahmin edicilerdir; ancak $T_2$ bilinmeyen $\mu$ parametresini barındırdığı için bir istatistik olamaz.Cevap
B
$T_2$ fonksiyonunun beklenen değeri tam olarak $\sigma^2$ 'ye eşit olduğundan, $\mu$ 'nün bilinip bilinmemesinden bağımsız olarak her zaman yansız ve tutarlı bir tahmin edicidir.
C
$T_1$ fonksiyonu $\sigma^2$ için yansız bir tahmin edici olduğundan, sahip olduğu Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri doğrudan kendi varyansına eşittir.
D
$T_1$ fonksiyonu örneklem ortalaması ve varyansı gibi yeterli istatistiklere dayandığı için, dağılımın tamlık (completeness) özelliğine bakılmaksızın Lehmann-Scheffe teoremi gereği en iyi yansız tahmin edici (UMVUE) olur.
E
Normal dağılım varsayımı altında $\sigma^2$ 'nin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) $T_1$ ise, değişmezlik özelliği gereği $\sqrt{T_1}$ de standart sapma ( $\sigma$ ) için daima yansız bir tahmin edicidir.

Cevap

İstatistik tanımı gereği fonksiyonların bilinmeyen kitle parametreleri içermemesi gerekir. Bu nedenle sadece

T_1

T_3

geçerli birer istatistik ve potansiyel tahmin edicilerdir;

T_2

ise bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiği için bir istatistik değildir.

İstatistiksel çıkarım teorisine göre, bir 'istatistik', parametre uzayındaki bilinmeyen hiçbir değeri içermeyen ve sadece örneklem gözlemleri ile bilinen sabitlerden oluşan bir fonksiyondur. Nokta tahmin edicileri mecburen birer istatistiktir. Soru kökünde

\mu

\sigma^2

'nin bilinmediği verilmiştir.

T_1

fonksiyonu sadece örneklem gözlemleri ve örneklem ortalamasına (

\bar{X}

T_3

ise bir sabite bağlıdır; dolayısıyla ikisi de geçerli birer istatistiktir. Ancak

T_2

fonksiyonu, bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiğinden örneklem üzerinden hesaplanamaz ve bu nedenle bir istatistik (veya tahmin edici) olamaz.

Adım Adım Çözüm

İstatistik (statistic) ve tahmin edici (estimator) kavramlarının teorik tanımlarını hatırlamak.

İstatistik, sadece gözlemlenebilen rastgele değişkenlerin (örneklem verilerinin) ve bilinen sabitlerin bir fonksiyonudur. Kesinlikle bilinmeyen bir kitle parametresi içeremez. Nokta tahmin edicisi ise bir parametreyi tahmin etmek için kullanılan geçerli bir istatistiktir.

Bir fonksiyonun tahmin edici olarak kullanılabilmesi için, örneklem çekildikten sonra sadece eldeki verilerle sayısal olarak hesaplanabilir olması gerekir.

T_1

T_3

fonksiyonlarının istatistik olma durumlarını incelemek.

T_1

, örneklem verileri (

X_i

) ve örneklem ortalaması (

\bar{X}

) kullanılarak hesaplanır, bilinmeyen bir parametre içermez.

T_3

ise bilinen bir sabittir (10). Sabitler de matematiksel olarak örneklemden bağımsız istatistikler olarak kabul edilir.

İçlerinde

\mu

veya

\sigma^2

gibi bilinmeyen bir sembol/parametre barındırmadıkları için her ikisi de istatistik tanımına uyar.

T_2

fonksiyonunun istatistik olma durumunu incelemek.

T_2

formülünde kitle ortalaması olan

\mu

yer almaktadır. Soru kökünde

\mu

'nün bilinmediği açıkça belirtilmiştir.

Örneklem çekildikten sonra

\mu

değeri bilinmediği için

T_2

hesaplanamaz. Bu sebeple

T_2

bir istatistik değildir ve dolayısıyla tahmin edici olarak kullanılamaz.

Anahtar Kavram

İstatistik ile parametre kavramları arasındaki temel fark ve nokta tahmin edicinin örneklem üzerinden hesaplanabilirlik koşulu.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru