Bir X rassal değişkeninin [0, \theta] aralığında düzgün dağılıma (U(0, \theta)) sahip oldu… — KPSS İstatistik

Bir $X$ rassal değişkeninin $[0, \theta]$ aralığında düzgün dağılıma ( $U(0, \theta)$ ) sahip olduğu bilinmektedir. $\theta$ parametresi hakkında kurulan $H_0: \theta = 2$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = 4$ alternatif hipotezi, tek bir gözlem ( $n=1$ ) kullanılarak $C = \{x : x > 1,6\}$ kritik bölgesi (red bölgesi) ile test edilmektedir. Buna göre, bu testin gücü kaçtır?

0,60Cevap
B
0,40
C
0,20
D
0,80
E
0,50

Cevap

Testin gücü 0,60 olarak hesaplanır.

Testin gücü, alternatif parametre değeri (

\theta = 4

) altında gözlemin red bölgesine (

x > 1,6

) düşme olasılığıdır.

U(0, 4)

dağılımı için bu olasılık

(4 - 1,6) / 4 = 0,60

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

Testin gücü tanımını belirleme

Güç

= P(X \in C \mid H_1 \text{ doğrudur}) = P(X > 1,6 \mid \theta = 4)

Güç, alternatif hipotez altında reddetme olasılığıdır.

Alternatif hipotez altındaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu (oyf) yazma

f(x; \theta=4) = \frac{1}{4}, \quad 0 < x < 4

Düzgün dağılımda oyf,

1 / (üst \, sınır - alt \, sınır)

şeklindedir.

Olasılık hesaplamasını yapma

P(X > 1,6) = \int_{1,6}^{4} \frac{1}{4} dx = \left[ \frac{x}{4} \right]_{1,6}^{4} = \frac{4 - 1,6}{4} = \frac{2,4}{4} = 0,60

Sürekli dağılımda olasılık, ilgili aralıkta yoğunluk fonksiyonunun integrali alınarak bulunur.

Anahtar Kavram

Güç fonksiyonu, bir istatistiksel testin yanlış olan bir yokluk hipotezini reddetme yeteneğini ölçer.

Daha Fazla Pratik

Örneklem çapı

n=2

olsaydı ve red bölgesi örneklem ortalamasına (

\bar{X}

) dayalı kurulsaydı testin gücünün nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru