Bir istatistik uzmanı, n = 41 gözlem içeren bir veri setinde bağımlı değişken (Y) ile ilgi… — KPSS İstatistik

Bir istatistik uzmanı, $n = 41$ gözlem içeren bir veri setinde bağımlı değişken ( $Y$ ) ile ilgilendiği açıklayıcı değişkenler arasındaki ilişkiyi modellemektedir. Bağımlı değişkene ait Toplam Kareler Toplamı ( $TKT$ ) $4000$ olarak hesaplanmıştır. Uzman, aynı veri setiyle iki farklı çoklu doğrusal regresyon modeli tahmin etmiş ve aşağıdaki Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) değerlerini elde etmiştir:

Model	Bağımsız Değişken Sayısı ( $k$ )	Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ )
Model I	4	1800
Model II	7	1716

Buna göre, Model I'den Model II'ye geçişte belirleme katsayısı ( $R^2$ ) ve düzeltilmiş belirleme katsayısındaki ( $\bar{R}^2$ ) değişim ile bu değişimin istatistiksel yorumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$R^2$ değeri artarken, $\bar{R}^2$ değeri $0.50$ 'den $0.48$ 'e düşmüştür. Bu durum, yeni eklenen değişkenlerin hata varyansında sağladığı azalışın, serbestlik derecesindeki kaybı telafi edemediğini gösterir.Cevap
B
$R^2$ değeri artarken, $\bar{R}^2$ değeri $0.51$ 'den $0.49$ 'a düşmüştür. Çünkü hata varyansı hesaplanırken paydaya gözlem sayısından sadece değişken sayısı ( $n-k$ ) çıkarılarak ulaşılır.
C
Hem $R^2$ hem de $\bar{R}^2$ değeri artmıştır. Modele eklenen yeni değişkenler $HKT$ 'yi azalttığı için, ceza katsayısına bakılmaksızın $\bar{R}^2$ de normal $R^2$ gibi daima artış gösterir.
D
$R^2$ değeri artarken, $\bar{R}^2$ değeri $0.50$ 'den $0.48$ 'e düşmüştür. Bu düşüşün temel nedeni, modele fazladan değişken eklenmesinin (aşırı belirleme) EKK tahmincilerini sapmalı (biased) hâle getirmesidir.
E
Model I eksik belirlenmiş bir model olduğundan hata varyansı azalmış ve bu nedenle Model I'in $\bar{R}^2$ değeri yanıltıcı biçimde Model II'den daha yüksek çıkarak $0.57$ bulunmuştur.

Cevap

R^2

değeri artarken,

\bar{R}^2

değerinin

0.50

'den

0.48

'e düştüğünü ve bunun serbestlik derecesi kaybıyla açıklandığını belirten seçenektir.

Doğru seçenekte belirtildiği gibi, Model I'in

\bar{R}^2

değeri

1 - (1800/36)/(4000/40) = 0.50

iken, Model II'nin

\bar{R}^2

değeri

1 - (1716/33)/(4000/40) = 0.48

'dir.

R^2

değeri artmasına rağmen

\bar{R}^2

'nin düşmesinin nedeni, modele eklenen

3

yeni değişkenin

HKT

'de sağladığı azalışın, serbestlik derecesindeki

3

birimlik kaybı telafi edememiş olmasıdır. Hata varyansı

50

'den

52

'ye yükselmiştir.

Adım Adım Çözüm

Toplam varyansın (modelden bağımsız) hesaplanması.

S_{yy} = \frac{TKT}{n-1} = \frac{4000}{41-1} = \frac{4000}{40} = 100

Düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

) hesaplanırken, hata varyansının toplam varyansa oranı kullanılır.

Model I için

R^2

\bar{R}^2

değerlerinin hesaplanması.

R^2_1 = 1 - \frac{1800}{4000} = 0.55

. Hata Varyansı

_1 = \frac{HKT_1}{n-k-1} = \frac{1800}{41-4-1} = \frac{1800}{36} = 50

\bar{R}^2_1 = 1 - \frac{50}{100} = 0.50

Model I'in açıklama gücünü ve serbestlik derecesi ile cezalandırılmış performansını bulmak.

Model II için

R^2

\bar{R}^2

değerlerinin hesaplanması.

R^2_2 = 1 - \frac{1716}{4000} = 0.571

. Hata Varyansı

_2 = \frac{HKT_2}{n-k-1} = \frac{1716}{41-7-1} = \frac{1716}{33} = 52

\bar{R}^2_2 = 1 - \frac{52}{100} = 0.48

Yeni değişkenlerin eklenmesiyle elde edilen Model II'nin performansını Model I ile karşılaştırılabilir hale getirmek.

Sonuçların istatistiksel ve ekonometrik olarak yorumlanması.

R^2

artmış ancak

\bar{R}^2

düşmüştür. Tahminciler sapmasız kalmaya devam etmiş, ancak yeni değişkenlerin marjinal katkısı serbestlik derecesi kaybını yenememiştir.

Sadece sayısal hesaplama değil, değişken eklemenin ekonometrik etkilerini (sapmasızlık ve varyans cezası) doğru ayırt etmek.

Anahtar Kavram

Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı ve Serbestlik Derecesi Cezalandırması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular