Bir tekstil fabrikasında kalite kontrol mühendisi, sentetik bir ipliğin kopma mukavemeti ü… — KPSS İstatistik

Bir tekstil fabrikasında kalite kontrol mühendisi, sentetik bir ipliğin kopma mukavemeti üzerinde 'Makine' (A faktörü) ve 'Operatör' (B faktörü) etkilerini incelemek üzere iki yönlü faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Mühendis, fabrikadaki çok sayıdaki makine arasından $4$ makineyi ve yüzlerce operatör arasından $5$ operatörü tamamen rastgele seçmiştir. Her bir makine-operatör kombinasyonu için $n=3$ tekrar yapılmıştır.

Deneyde elde edilen verilere göre varyans analizi (ANOVA) uygulanacaktır. İlgili evren modelinde hata varyansı $\sigma^2$ , Makine varyans unsuru $\sigma_A^2$ , Operatör varyans unsuru $\sigma_B^2$ ve etkileşim varyans unsuru $\sigma_{AB}^2$ ile gösterilmektedir.

Buna göre, Makine (A) faktörünün ana etkisine ait Beklenen Kareler Ortalaması $E(KO_A)$ yapısı ve bu etkinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için kullanılması gereken $F$ test istatistiği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

*(Not: $a$ , $b$ ve $n$ sırasıyla A faktörü düzey sayısını, B faktörü düzey sayısını ve hücre başına tekrar sayısını ifade etmektedir. Gösterimlerde $KO$ , Kareler Ortalamasını; $KO_H$ , Hata Kareler Ortalamasını temsil etmektedir.)*

$E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ Cevap
B
$E(KO_A) = \sigma^2 + \frac{bn\sum \alpha_i^2}{a-1} \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_H}$
C
$E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_H}$
D
$E(KO_A) = \sigma^2 + bn\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_H}$
E
$E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + an\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$

Cevap

Doğru eşleşme, ana etkinin beklenen kareler ortalamasında hata varyansı, etkileşim varyansı ve ilgili ana etkinin varyans unsurunun (

b \cdot n

katsayısıyla) bulunduğu ve paydada etkileşim kareler ortalamasının yer aldığı seçenektir.

Soruda hem makine hem de operatör seçimlerinin rastgele yapıldığı açıkça belirtilmiştir. Bu durum, analizin 'İki Yönlü Şansa Bağlı Model (Model II)' çerçevesinde yapılmasını gerektirir. Şansa bağlı faktöriyel modellerde herhangi bir ana etkinin (örneğin A faktörünün) beklenen kareler ortalaması,

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2

şeklinde ifade edilir. Burada ana etkinin varlığı test edilirken (

H_0: \sigma_A^2 = 0

), denklem

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2

yapısına indirgenir. Beklenen kareler ortalaması (E(KO)) prensiplerine göre, doğru test istatistiği bu iki terimin oranlanmasıyla elde edileceğinden

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

oranı kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

Deney tasarımının model tipini belirleme.

Araştırmacı hem Makine hem de Operatör düzeylerini büyük bir evrenden rastgele seçtiği için bu tasarım 'İki Yönlü Şansa Bağlı Model'dir (Model II - Random Effects Model).

Uygulanacak test istatistikleri ve beklenen kareler ortalaması yapıları faktörlerin sabit mi yoksa şansa bağlı mı seçildiğine göre değişir.

Makine (A) faktörünün Beklenen Kareler Ortalaması

E(KO_A)

formülünü çıkarma.

Şansa bağlı modelde

E(KO_A)

formülü, hata varyansı (

\sigma^2

), etkileşim varyansı (

\sigma_{AB}^2

) ve ana etkinin kendi varyans unsurunu (

\sigma_A^2

) içerir. Katsayılar dikkate alındığında denklem

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2

olur.

Rastgele seçilen faktörlerin etkileşimi, her iki ana etkinin varyans yapısına da dahil olur.

A faktörü için geçerli

F

test istatistiğinin paydasını belirleme.

H_0: \sigma_A^2 = 0

hipotezi altında,

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2

kalır. Bu değer tam olarak

E(KO_{AB})

yapısına eşittir. Bu nedenle test istatistiği

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

olarak kurulmalıdır.

Beklenen Kareler Ortalaması kurallarına göre, bir etkinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için

F

oranının paydasına, boş hipotez doğruyken pay ile aynı beklenen değere sahip olan Kareler Ortalaması yerleştirilmelidir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Faktöriyel Tasarımlarda Şansa Bağlı Modeller (Model II) ve Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS)) Kuralları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru