Examkin

Soru

Zorluk: Zor(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir KOSGEB il müdürlüğünde, girişimci destek projelerinin ön onay işlemlerini yürütmek üzere 33 adet özdeş uzman görev yapmaktadır. Müdürlüğe gelen proje onay başvuruları, saatte ortalama 44 başvuru olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gerçekleşmektedir. Her bir uzmanın bir projeyi inceleme ve ön onay verme süresi üstel dağılıma uymakta olup, bir uzman saatte ortalama 22 projeyi sonuçlandırabilmektedir.

Buna göre, sistem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında bu onay biriminde kuyrukta bekleyen ortalama proje başvuru sayısı (LqL_q) kaçtır?

  1. A
    29\frac{2}{9}
  2. B
    813\frac{8}{13}
  3. 89\frac{8}{9}Cevap
  4. D
    43\frac{4}{3}
  5. E
    269\frac{26}{9}

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama proje başvuru sayısı 89\frac{8}{9}'dur.
Soruda 33 kanallı (M/M/3) ve sonsuz kapasiteli bir kuyruk modeli tanımlanmıştır. Varış hızı λ=4\lambda=4, hizmet hızı μ=2\mu=2 ve kanal sayısı c=3c=3 olarak verilmiştir. Sistem yoğunluğu ρ=46=23\rho = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} olduğundan sistem kararlıdır. M/M/c modelinde sistemin boş kalma olasılığı (P0P_0), paydada faktöriyellerin ve son terimde 11−ρ\frac{1}{1-\rho} ifadesinin yer aldığı standart formülle hesaplanır ve 19\frac{1}{9} olarak bulunur. Kuyrukta bekleyen ortalama sayı (LqL_q) ise ilgili M/M/c formülünde P0⋅rc⋅ρc!⋅(1−ρ)2\frac{P_0 \cdot r^c \cdot \rho}{c! \cdot (1-\rho)^2} yerine konulduğunda 89\frac{8}{9} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini (c,λ,μc, \lambda, \mu) ve sistem yoğunluğunu (ρ\rho) belirleme
c=3c=3, λ=4\lambda=4, μ=2\mu=2 ve ρ=43×2=23\rho = \frac{4}{3 \times 2} = \frac{2}{3} bulunur.
M/M/c kuyruk modelinde kullanılacak temel girdilerin ve sistemin kararlı olup olmadığının (ρ<1\rho < 1) tespit edilmesi gerekir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplama
P0=[200!+211!+222!+233!(11−2/3)]−1=[1+2+2+4]−1=19P_0 = \left[ \frac{2^0}{0!} + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} \left( \frac{1}{1 - 2/3} \right) \right]^{-1} = [1 + 2 + 2 + 4]^{-1} = \frac{1}{9}
Çok kanallı kuyruk modellerinde performans ölçütlerini bulmak için öncelikle tüm kanalların boş olduğu durumun olasılığı bulunmalıdır.
3
Kuyrukta bekleyen ortalama başvuru sayısını (LqL_q) hesaplama
Lq=P0⋅(λ/μ)c⋅ρc!⋅(1−ρ)2=(1/9)⋅23⋅(2/3)3!⋅(1/3)2=16/276/9=16/2718/27=89L_q = \frac{P_0 \cdot (\lambda/\mu)^c \cdot \rho}{c! \cdot (1-\rho)^2} = \frac{(1/9) \cdot 2^3 \cdot (2/3)}{3! \cdot (1/3)^2} = \frac{16/27}{6/9} = \frac{16/27}{18/27} = \frac{8}{9}
Kuyruk uzunluğu, P0P_0 ve yoğunluk oranları kullanılarak M/M/c kuyruk uzunluğu formülü ile elde edilir.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modeli Performans Ölçütleri
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru