Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTersinirlik Kavramı ve Koşulları

ϵt∼WN(0,σ2)\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) beyaz gürültü süreci olmak üzere, bir zaman serisi Xt=ϵt+0,5ϵt−1+θ2ϵt−2X_t = \epsilon_t + 0,5 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} denklemi ile ifade edilen bir Hareketli Ortalama (MA) süreci izlemektedir. Bu sürecin tersinir (invertible) olması için θ2\theta_2 parametresinin tanımlı olduğu en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −0,5<θ2<1-0,5 < \theta_2 < 1Cevap
  2. B
    −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1
  3. C
    −1,5<θ2<1-1,5 < \theta_2 < 1
  4. D
    θ2>−0,5\theta_2 > -0,5
  5. E
    ∣θ2∣<0,5|\theta_2| < 0,5

Cevap

Sürecin tersinir olması için θ2\theta_2 parametresi −0,5<θ2<1-0,5 < \theta_2 < 1 aralığında olmalıdır.
Verilen süreç bir MA(2) sürecidir. Bir MA(2) sürecinin tersinir olması için katsayıların (θ1,θ2\theta_1, \theta_2) katsayılar düzleminde bir üçgen içerisinde yer alması gerekir. Bu koşullar θ2<1\theta_2 < 1, θ2−θ1>−1\theta_2 - \theta_1 > -1 ve θ2+θ1>−1\theta_2 + \theta_1 > -1 şeklindedir. Soru kökünde θ1=0,5\theta_1 = 0,5 (dikkat: denklemdeki artı işareti nedeniyle standart formda θ1=−0,5\theta_1 = -0,5 olarak alınsa da, Box-Jenkins gösteriminde 1+θ1L+θ2L21+\theta_1 L + \theta_2 L^2 formu kullanıldığında θ1=0,5\theta_1=0,5 olur) olarak verildiğinde, eşitsizlikler çözüldüğünde en dar kısıtlayıcı aralık −0,5<θ2<1-0,5 < \theta_2 < 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreci gecikme operatörü (LL) cinsinden yazarak katsayıları belirleyin.
θ(L)=1+0,5L+θ2L2\theta(L) = 1 + 0,5L + \theta_2 L^2 denkleminde θ1=0,5\theta_1 = 0,5 ve θ2\theta_2 katsayıları elde edilir.
MA(2) süreçlerinde tersinirlik koşulları karakteristik denklemin katsayıları üzerinden tanımlanır.
2
MA(2) süreçleri için gerekli olan üç tersinirlik koşulunu uygulayın.
1) θ2<1\theta_2 < 1 | 2) θ2−θ1>−1\theta_2 - \theta_1 > -1 | 3) θ2+θ1>−1\theta_2 + \theta_1 > -1
Bu koşullar, karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalmasını garanti eder.
3
Bilinen θ1=0,5\theta_1 = 0,5 değerini eşitsizliklerde yerine koyarak çözün.
2) θ2−0,5>−1⇒θ2>−0,5\theta_2 - 0,5 > -1 \Rightarrow \theta_2 > -0,5 ve 3) θ2+0,5>−1⇒θ2>−1,5\theta_2 + 0,5 > -1 \Rightarrow \theta_2 > -1,5
Parametre aralıklarını belirlemek için temel cebirsel işlemler uygulanır.
4
Tüm aralıkların kesişimini bulun.
θ2<1\theta_2 < 1, θ2>−0,5\theta_2 > -0,5 ve θ2>−1,5\theta_2 > -1,5 koşullarının kesişimi −0,5<θ2<1-0,5 < \theta_2 < 1 aralığıdır.
Tersinirlik için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

MA(2) süreçlerinde tersinirlik koşulları (Invertibility Conditions)

Daha Fazla Pratik

ARMA(1,1) modellerinde tersinirlik koşulunun neden sadece MA kısmındaki katsayıya bağlı olduğunu inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tersinirlik Kavramı ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru