Küme Örneklemesi

82 soru

Bir kargo firması, sahip olduğu $N = 50$ şubede (kümede) gün içinde işlenen toplam hatalı barkod sayısını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, şubeler arasından basit rastgele örnekleme ile $n = 5$ şube seçilmiş ve seçilen şubelerdeki tüm kargolar tam sayıma tabi tutulmuştur (tek aşamalı küme örneklemesi).

Seçilen şubelerde tespit edilen hatalı barkod sayıları ( $y_i$ ) sırasıyla 120, 80, 150, 90 ve 110 olarak bulunmuştur.

Buna göre, kargo firmasının tüm şubelerindeki toplam hatalı barkod sayısı için yansız tahmin değeri ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahmin edicinin varyans tahmini ( $\widehat{V}(\hat{Y})$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

\hat{Y} = 5500 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 337.500

\hat{Y} = 5500 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 375.000

\hat{Y} = 5500 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 135

\hat{Y} = 550 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 337.500

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{Y} = 5500 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 337.500$

Cevap

Kitle toplamı tahmini 5500 ve varyans tahmini 337.500 olarak bulunan seçenektir.

Tek aşamalı küme örneklemesinde, ilgilenilen kitle toplamı yansız olarak

\hat{Y} = N\bar{y}

eşitliği ile bulunur. Burada

N=50

şube ve örneklemdeki hatalı barkod ortalaması

\bar{y} = 110

olduğu için

\hat{Y} = 5500

'dür. Toplam tahmin edicisinin varyansı ise SKD dâhil edilerek

\widehat{V}(\hat{Y}) = N^2(1 - \frac{n}{N}) \frac{s_c^2}{n}

formülüyle hesaplanır. Küme varyansı

s_c^2 = 750

olarak bulunduğunda, varyans tahmini

50^2 \times (0.9) \times \frac{750}{5} = 337.500

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

Örneklemdeki küme toplamlarının ortalaması (

\bar{y}

) hesaplanır.

\bar{y} = \frac{120 + 80 + 150 + 90 + 110}{5} = \frac{550}{5} = 110

Kitle toplamını yansız tahmin etmek için örneklem ortalamasına ihtiyaç vardır.

Kitle toplamı yansız tahmin edicisi (

\hat{Y} = N\bar{y}

) formülü ile hesaplanır.

\hat{Y} = 50 \times 110 = 5500

Tek aşamalı küme örneklemesinde toplam yansız tahmin edici, evrendeki toplam küme sayısı (

N

) ile örneklem küme ortalamasının çarpımıdır.

Seçilen kümelerin (şubelerin) varyansı

s_c^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{n-1}

formülü ile hesaplanır.

s_c^2 = \frac{(120-110)^2 + (80-110)^2 + (150-110)^2 + (90-110)^2 + (110-110)^2}{4} = \frac{100 + 900 + 1600 + 400 + 0}{4} = \frac{3000}{4} = 750

Tahmin edicinin varyansını hesaplayabilmek için örneklem içi değişkenlik (küme varyansı) bulunmalıdır.

Kitle toplamının varyans tahmini

\widehat{V}(\hat{Y}) = N^2 \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s_c^2}{n}

formülü uygulanarak bulunur.

\widehat{V}(\hat{Y}) = 50^2 \left(1 - \frac{5}{50}\right) \frac{750}{5} = 2500 \times 0.9 \times 150 = 2250 \times 150 = 337.500

İadesiz seçim yapıldığı için formüle Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) olan

(1-f)

eklenmeli ve kitle toplamı arandığı için varyans

N^2

ile genişletilmelidir.

Anahtar Kavram

Tek Aşamalı Küme Örneklemesinde Kitle Toplamı Tahmini ve Varyansı

Soru 82Soru →

Bir büyükşehir belediyesine bağlı toplam $N=80$ adet spor tesisi bulunmaktadır. Bu tesislerin her birinde eşit sayıda ve $M=30$ adet aydınlatma direği mevcuttur. Tesislerdeki aydınlatma sistemlerinin yıllık bakım maliyetini planlamak amacıyla, yıl içinde değişimi gereken toplam ampul sayısını tahmin etmek için basit rastgele örnekleme ile $n=8$ adet tesis (küme) seçilmiştir. Seçilen tesislerin her birinde yıl boyunca değiştirilen toplam ampul sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Örneklemdeki Tesis	1	2	3	4	5	6	7	8
Değiştirilen Toplam Ampul ( $y_i$ )	12	18	14	22	10	24	16	20

Buna göre, büyükşehir belediyesine bağlı tüm spor tesislerinde değişimi gereken toplam ampul sayısı tahmini ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

1.360

17.280

1.360

19.200

1.360

576

1.360

216

136

17.280

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1.360$ ve $17.280$

Cevap

Toplam ampul sayısı tahmini

1.360

ve bu tahminin varyansı

17.280

olmalıdır.

Kitle toplamı tahmini, örneklemdeki tesislerin (kümelerin) ortalama ampul değişim sayısının (

136/8=17

) toplam tesis sayısı (

N=80

) ile çarpılmasıyla

1.360

olarak bulunur. Bu tahminin varyansı ise küme toplamlarının varyansının (

s_b^2=24

N^2

(

6.400

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-0,10=0,90

) kullanılarak

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2(1-f)\frac{s_b^2}{n}

formülünde yerine konmasıyla

17.280

olarak doğru şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

Örneklemdeki küme toplamlarının ortalamasını (

\bar{y}

) hesaplamak

\bar{y} = \frac{12+18+14+22+10+24+16+20}{8} = \frac{136}{8} = 17

Kitle toplamı tahmini için, örnekleme giren kümelerin (tesislerin) ortalama değerine ihtiyaç vardır.

Kitle toplamı tahminini (

\hat{Y}

) bulmak

\hat{Y} = N \cdot \bar{y} = 80 \cdot 17 = 1.360

Eşit büyüklüklü kümelerde kitle toplamı, kitledeki toplam küme sayısının (

N

) küme ortalaması ile çarpılmasıyla tahmin edilir.

Küme toplamlarının örneklem varyansını (

s_b^2

) hesaplamak

s_b^2 = \frac{(-5)^2 + 1^2 + (-3)^2 + 5^2 + (-7)^2 + 7^2 + (-1)^2 + 3^2}{8-1} = \frac{168}{7} = 24

Tahmin edicinin varyansını bulmak için kümeler arası değişimin ölçülmesi gerekir.

Toplam tahmininin varyansını (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplamak

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot (1 - f) \cdot \frac{s_b^2}{n} = 80^2 \cdot (1 - 0,10) \cdot \frac{24}{8} = 6.400 \cdot 0,90 \cdot 3 = 17.280

Kitle toplamı tahmininin varyansı hesaplanırken Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (

1-f

) ve

N^2

formüle dahil edilmelidir.

Anahtar Kavram

Eşit Büyüklüklü Küme Örneklemesinde Kitle Toplamı ve Varyans Tahmini

ÖncekiSayfa 5 / 5

Küme Örneklemesi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar