Küme Örneklemesi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir tarım ekonomisti, ülke genelinde örtü altı tarım (sera) yapan işletmelerde verimliliği etkileyen faktörleri incelemek üzere geniş çaplı bir saha araştırması planlamaktadır. Araştırmacı, ülkedeki tüm seraların güncel ve tam bir listesine (örnekleme çerçevesine) sahip değildir. Ancak mülki idare sınırlarına göre oluşturulmuş güncel köy listeleri mevcuttur. Maliyeti minimize etmek ve çerçeve eksikliği problemini aşmak amacıyla araştırmacı; önce bu listeden rastgele belirli sayıda köy seçmiş, ardından seçilen bu köylerin sınırları içinde yer alan tüm seraları eksiksiz olarak araştırmaya dahil etme kararı almıştır.

Bu örnekleme tasarımı ve özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel açıdan kesinlikle doğrudur?

Bu tasarımda örnekleme birimi köyler, gözlem birimi ise seralardır; yöntemin istatistiksel etkinliğinin yüksek olması için seçilen köylerin içyapılarının verimlilik özellikleri bakımından kitleyi yansıtacak ölçüde farklılaşmış (heterojen) olması gerekir.

Çerçeve maliyetlerini ortadan kaldıran bu tasarımda, seçilen köylerin içyapılarının verimlilik açısından olabildiğince benzer (homojen) olması ve köyler arası varyansın yüksek olması tahminin duyarlılığını artırır.

Araştırmacının doğrudan listesine ulaşamadığı seralar örnekleme birimini, coğrafi olarak sınırları belli olan ve rastgele seçilen köyler ise gözlem birimini oluşturmaktadır.

Küme örneklemesinde grupların oluşturulma mantığı tabakalı örnekleme ile temelden aynıdır; bu nedenle her iki yöntemde de oluşturulan alt grupların kendi içinde kitleyi yansıtacak ölçüde farklılaşmış (heterojen) olması amaçlanır.

Seçilen köylerin sınırı içindeki tüm seralar tamsayım mantığıyla eksiksiz olarak incelendiğinden, araştırmada rassal seçimden kaynaklanan örnekleme hatası (varyans) tamamen ortadan kalkar ve yalnızca örnekleme dışı hatalar söz konusu olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu tasarımda örnekleme birimi köyler, gözlem birimi ise seralardır; yöntemin istatistiksel etkinliğinin yüksek olması için seçilen köylerin içyapılarının verimlilik özellikleri bakımından kitleyi yansıtacak ölçüde farklılaşmış (heterojen) olması gerekir.

Cevap

Doğru seçenek, tasarımda köylerin örnekleme birimi, seraların gözlem birimi olduğunu ve yüksek etkinlik için kümelerin kendi içlerinde heterojen bir yapı sergilemesi gerektiğini ifade eden seçenektir.

Verilen senaryo uygulamalı bir tek aşamalı küme örneklemesidir. Bu yöntemde çerçeve üzerinden doğrudan rastgele seçilen doğal veya yapay gruplar (köyler) örnekleme birimini; analiz için ölçüm yapılan temel elemanlar (seralar) ise gözlem birimini oluşturur. Küme örneklemesinin düşük standart hatayla (etkin) çalışabilmesi için, her bir kümenin kitledeki genel çeşitliliği barındırması gerekir. Diğer bir ifadeyle, bir küme ne kadar heterojen (farklılaşmış) elemanlardan oluşursa, küme içi korelasyon o kadar düşer ve örnekleme tasarımının istatistiksel etkinliği o derece yüksek olur.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma senaryosundaki örnekleme tasarımını ve birimlerini tanımlama.

Senaryoda listesi bulunan doğal gruplardan (köylerden) rastgele seçim yapılmış ve seçilen kümelerdeki tüm elemanlar (seralar) incelenmiştir. Bu durum tek aşamalı küme örneklemesidir. Çerçeveden seçilen köyler örnekleme birimi, verinin derlendiği seralar gözlem birimidir.

Örnekleme teorisinde hangi birimin seçime tabi tutulduğunu ve hangi birimden ölçüm alındığını netleştirmek, varyansın kaynağını anlamak için zorunludur.

2

Küme örneklemesinde etkinliği artıran teorik grup yapılarını (homojenlik/heterojenlik) değerlendirme.

Küme örneklemesinin istatistiksel açıdan etkin (düşük varyanslı) olabilmesi için kümelerin kitleyi iyi yansıtması, yani içyapılarının heterojen, kümeler arası farklılıkların ise homojen olması gerektiği kuralı hatırlanır.

Tabakalı örneklemedeki 'içi homojen, arası heterojen' ilkesinin, küme örneklemesinde tam tersi şekilde işlemesi kavramsal düzeyde en çok test edilen bilgidir.

3

Seçenekleri analiz ederek örnekleme hataları ve tasarım prensipleri açısından uygunluğunu kontrol etme.

Sadece tasarım birimlerini ve heterojenlik kuralını doğru tanımlayan ifade saptanır, diğer seçeneklerdeki tabaka mantığı karmaşası ve hata türü yanılgıları elenir.

Her bir kavram yanılgısı analiz edilerek (tabaka/küme karmaşası, örnekleme/örnekleme dışı hata karmaşası) doğru ve kesin yargıya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Tasarım Birimleri ve Etkinlik Koşulları

Soru 62Soru →

Bir insan kaynakları departmanı, ülke genelinde bulunan $N=50$ farklı bölge müdürlüğündeki personelin yeni başlatılan "Kurumsal Esenlik Programı"na katılım oranını tahmin etmek istemektedir. Bölgeler birer küme olarak kabul edilmiş ve basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=5$ bölge müdürlüğü seçilmiştir.

Seçilen bölge müdürlüklerindeki toplam personel sayıları ( $m_i$ ) ve programa katılan personel sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bölge	Toplam Personel ( $m_i$ )	Katılımcı Sayısı ( $a_i$ )
1	40	16
2	50	11
3	30	9
4	60	18
5	20	6

Buna göre, Kurumsal Esenlik Programı'na katılım oranının küme örneklemesi tahmincisi ( $p_c$ ) ve bu tahmincinin varyans tahmini ( $\hat{V}(p_c)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,300

ve

0,0009

0,300

ve

0,0010

0,304

ve

0,0009

0,304

ve

0,0010

0,300

ve

0,0045

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,300$ ve $0,0009$

Cevap

Kurumsal Esenlik Programına katılım oranı

0,300

ve varyans tahmini

0,0009

'dur.

Küme örneklemesinde oran tahmini, elde edilen tüm başarılı gözlem sayısının incelenen toplam birim sayısına bölünmesi ile

\frac{60}{200} = 0,300

olarak bulunur. Bu tahminin varyansı hesaplanırken, kümelerin farklı büyüklükte olması dikkate alınarak

s_c^2

terimi hesaplanır ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı kullanılarak

\frac{1-0,1}{5 \times 40^2} \times 8 = 0,0009

elde edilir. Bu nedenle hem oran hem de varyans tahmini doğru verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle oran tahmini (

p_c

) değerini hesapla.

p_c = \frac{\sum a_i}{\sum m_i} = \frac{16 + 11 + 9 + 18 + 6}{40 + 50 + 30 + 60 + 20} = \frac{60}{200} = 0,300

Küme örneklemesinde oran tahmini, seçilen kümelerdeki ilgilenilen özelliğe sahip elemanların toplamının, seçilen kümelerdeki toplam eleman sayısına bölünmesiyle elde edilir.

2

Örneklemdeki ortalama küme büyüklüğünü (

\bar{m}

) belirle.

\bar{m} = \frac{\sum m_i}{n} = \frac{200}{5} = 40

Farklı büyüklükteki kümelerde varyans tahmini formülü hesaplanırken ortalama küme büyüklüğüne (

\bar{m}

) ihtiyaç duyulur.

3

Varyans formülünün pay kısmında kullanılacak kareler toplamını

s_c^2

için hesapla.

1. Bölge:

16 - 0,3(40) = 4 \Rightarrow 4^2 = 16

2. Bölge:

11 - 0,3(50) = -4 \Rightarrow (-4)^2 = 16

3. Bölge:

9 - 0,3(30) = 0 \Rightarrow 0^2 = 0

4. Bölge:

18 - 0,3(60) = 0 \Rightarrow 0^2 = 0

5. Bölge:

6 - 0,3(20) = 0 \Rightarrow 0^2 = 0

Toplam:

16 + 16 + 0 + 0 + 0 = 32

. Buradan

s_c^2 = \frac{32}{5-1} = 8

bulunur.

Tahminin varyansı, her kümeden elde edilen farklılıkların karesel ortalamasını yansıtan

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - p_c m_i)^2}{n-1}

değerini temel alır.

4

Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) ile birlikte varyans tahmini (

\hat{V}(p_c)

) formülünü uygula.

\hat{V}(p_c) = \frac{1-f}{n \bar{m}^2} s_c^2 = \frac{1 - \frac{5}{50}}{5 \times 40^2} \times 8 = \frac{0,9}{8000} \times 8 = 0,0009

Örneklem hacmi kitlenin %10'una ulaştığı için SKD (

1-f

) uygulanmalıdır. Tüm bileşenler formüle yerleştirilerek nihai varyans bulunur.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini ve Varyansı

Soru 63Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, kent genelinde bulunan $N = 50$ otobüs garajında (küme) faal olarak kullanılan otobüslerin '10 yıllık ekonomik ömrünü doldurma' oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu amaçla rastgele $n = 5$ garaj seçilmiş ve bu garajlardaki toplam otobüs sayıları ( $M_i$ ) ile ekonomik ömrünü dolduran otobüs sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki gibi belirlenmiştir:

Garaj ( $i$ )	Toplam Otobüs Sayısı ( $M_i$ )	10 Yılını Dolduran Otobüs Sayısı ( $a_i$ )
1	50	15
2	30	6
3	40	16
4	50	10
5	80	28

Buna göre, otobüslerin ekonomik ömrünü doldurma oranının küme örneklemesi tahminleyicisi ( $\hat{p}$ ) ve bu tahminleyicinin varyans tahmini ( $v(\hat{p})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,30

ve

0,001188

0,30

ve

0,001320

0,29

ve

0,001188

0,29

ve

0,001440

0,30

ve

0,000950

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,30$ ve $0,001188$

Cevap

Doğru cevap

0,30

ve

0,001188

değerlerini veren seçenektir.

Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlenen tüm ilgilenilen birimlerin (

\sum a_i=75

), örneklemdeki toplam birim sayısına (

\sum M_i=250

) bölünmesi ile bulunur (

\hat{p} = 0,30

). Kümeler farklı büyüklükte olduğunda, oranın varyans tahmini her kümenin orana sapmasını dikkate alan

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1}

istatistiği yardımıyla hesaplanır. Formülde SKD (

1-f = 0,90

) ve paydadaki küme başı ortalama büyüklüğün karesi (

n\bar{M}^2

) kullanılarak işlem tamamlandığında nihai varyans

0,001188

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle oranının tahminini (

\hat{p}

) hesapla.

\sum M_i = 50 + 30 + 40 + 50 + 80 = 250

\sum a_i = 15 + 6 + 16 + 10 + 28 = 75

\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{75}{250} = 0,30

Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlenen ilgilenilen özellik sayısının toplam örneklemdeki birim sayısına bölünmesiyle (ağırlıklı oran) bulunur.

2

Varyans hesabında kullanılacak küme başına düşen ortalama birim sayısını (

\bar{M}

) hesapla.

\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{250}{5} = 50

Varyans formülünün paydasında, örnekleme giren kümelerin ortalama büyüklüğünün karesi (

\bar{M}^2

) kullanılmalıdır.

3

Kümeler arası değişim için

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1}

değerini hesapla.

1. Garaj:

15 - (0,30 \times 50) = 0 \implies 0^2 = 0

2. Garaj:

6 - (0,30 \times 30) = -3 \implies (-3)^2 = 9

3. Garaj:

16 - (0,30 \times 40) = 4 \implies 4^2 = 16

4. Garaj:

10 - (0,30 \times 50) = -5 \implies (-5)^2 = 25

5. Garaj:

28 - (0,30 \times 80) = 4 \implies 4^2 = 16

Toplam

= 0 + 9 + 16 + 25 + 16 = 66

s_c^2 = \frac{66}{5-1} = \frac{66}{4} = 16,5

Küme örneklemesinde varyans tahmini, her bir kümenin beklenen ilgilenilen değerden ne kadar saptığının kareleri toplamına dayanır.

4

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) belirle.

f = \frac{n}{N} = \frac{5}{50} = 0,10

SKD = 1 - f = 1 - 0,10 = 0,90

Örnekleme iadesiz yapıldığı ve örnekleme kesri ihmal edilemeyecek düzeyde olduğu için varyans hesabında

1-f

kullanılmalıdır.

5

Varyans tahminini (

v(\hat{p})

) nihai formülde hesapla.

v(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} \times s_c^2

v(\hat{p}) = \frac{0,90}{5 \times 50^2} \times 16,5 = \frac{0,90 \times 16,5}{12500} = \frac{14,85}{12500} = 0,001188

Küme örneklemesinde oran tahmininin varyansı, hata kareler ortalamasının ortalama küme büyüklüğü ve SKD dikkate alınarak düzeltilmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Farklı büyüklüklü kümelerde oran tahmini ve varyansı

Soru 64Soru →

Sağlık Bakanlığı, bir bölgedeki $N = 50$ ilçede (küme) faaliyet gösteren Aile Sağlığı Merkezlerindeki (ASM) toplam uzman hekim sayısını tahmin etmek istemektedir. Bölgedeki toplam ASM sayısı biliniyor olup $M_0 = 400$ 'dür. Rastgele seçilen $n = 4$ ilçeye ait ASM sayıları ( $M_i$ ) ve bu ilçelerdeki toplam uzman hekim sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İlçe ( $i$ )	ASM Sayısı ( $M_i$ )	Uzman Hekim Sayısı ( $y_i$ )
1	8	20
2	12	42
3	10	26
4	10	32

Bu verilere göre, oran tahminleyicisi (ratio estimator) kullanılarak hesaplanan bölgedeki **toplam uzman hekim sayısı tahmini ( $\hat{Y}_R$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y}_R)$ )** sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

1.500

ve

50.600

1.200

ve

15.000

1.200

ve

13.800

1.180

ve

8.464

120

ve

5,52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1.200$ ve $13.800$

Cevap

Doğru cevap, sırasıyla

1.200

ve

13.800

değerlerini içeren seçenektir.

Oran tahminleyicisi formülleri sırasıyla uygulandığında, birim ortalaması

120/40=3

olarak bulunur. Toplam tahmini

400 \times 3 = 1.200

'dür. Varyans için hesaplanan artıkların (

e_i

) varyansı

s_r^2 = 24

'tür. Toplam varyans formülü

\hat{V}(\hat{Y}_R) = N^2 \frac{1-f}{n} s_r^2

işletildiğinde,

2500 \times 0,23 \times 24 = 13.800

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki birim başına düşen ortalama uzman hekim sayısını oran tahminleyicisi (

\hat{\bar{y}}

) ile hesaplayın.

\sum M_i = 8 + 12 + 10 + 10 = 40

\sum y_i = 20 + 42 + 26 + 32 = 120

\hat{\bar{y}} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i} = \frac{120}{40} = 3

uzman hekim / ASM.

Farklı büyüklüklü kümelerde küme büyüklüklerini (ağırlıkları) dikkate alan en etkin tahminleyici oran tahminleyicisidir.

2

Evrendeki toplam uzman hekim sayısını (

\hat{Y}_R

) tahmin edin.

\hat{Y}_R = M_0 \times \hat{\bar{y}} = 400 \times 3 = 1.200

uzman hekim.

Birim başına düşen ortalama değeri, evrendeki toplam birim sayısı (

M_0

) ile çarparak evren toplamına ulaşılır.

3

Varyans hesabı için küme toplamları ile beklenen toplamlar arasındaki farkları (artıkları,

e_i

) ve artıkların örneklem varyansını (

s_r^2

) bulun.

e_i = y_i - \hat{\bar{y}} M_i = y_i - 3M_i

e_1 = 20 - 24 = -4

e_2 = 42 - 36 = 6

e_3 = 26 - 30 = -4

e_4 = 32 - 30 = 2

s_r^2 = \frac{\sum e_i^2}{n-1} = \frac{(-4)^2 + 6^2 + (-4)^2 + 2^2}{3} = \frac{16 + 36 + 16 + 4}{3} = \frac{72}{3} = 24

.

Oran tahminleyicisinin varyansı, gözlenen

y_i

değerleri ile oran üzerinden beklenen değerlerin (

3 M_i

) farkından oluşan artıklar (

e_i

) üzerinden hesaplanır.

4

Toplam tahmininin varyansını (

\hat{V}(\hat{Y}_R)

) formüle göre hesaplayın.

\hat{V}(\hat{Y}_R) = N^2 \frac{1-f}{n} s_r^2

f = \frac{n}{N} = \frac{4}{50} = 0,08

\hat{V}(\hat{Y}_R) = 50^2 \times \frac{1 - 0,08}{4} \times 24 = 2500 \times \frac{0,92}{4} \times 24 = 2500 \times 0,23 \times 24 = 575 \times 24 = 13.800

.

Toplam tahmininin varyans formülünde evrendeki küme sayısının karesi (

N^2

) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (

1-f

) dikkate alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisi ile evren toplamı ve varyans hesabı

Soru 65Soru →

Bir tarım il müdürlüğü, il sınırları içerisindeki $N = 200$ adet sera işletmesini her biri birer küme olacak şekilde tanımlamış ve incelemeye almıştır. Seralardaki toplam hastalıklı bitki sayısını tahmin etmek amacıyla, iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 20$ sera seçilmiş ve bu seçilen seralardaki tüm bitkiler tek tek incelenerek hastalıklı olanlar sayılmıştır.

Elde edilen verilere göre, örnekleme seçilen 20 seradaki toplam hastalıklı bitki sayısı $\sum_{i=1}^{20} y_i = 300$ ve küme toplamlarının örneklem varyansı $s_c^2 = 400$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, il genelindeki seralarda bulunan toplam hastalıklı bitki sayısı tahmini ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\hat{Y} = 3000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 720.000

\hat{Y} = 3000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 800.000

\hat{Y} = 3000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 3600

\hat{Y} = 60.000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 800.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{Y} = 3000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 720.000$

Cevap

İl genelindeki toplam hastalıklı bitki sayısı tahmini 3000, bu tahminin varyansı ise 720.000 olarak bulunur.

Verilen değerler formüllerde yerine konulduğunda; önce

\bar{y}_c = 300 / 20 = 15

bulunur. Buradan toplam tahmini

\hat{Y} = 200 \times 15 = 3000

olarak elde edilir. Varyans hesaplamasında ise iadesiz örnekleme yapıldığı için SKD uygulanır. Ortalamanın varyansı

\hat{V}(\bar{y}_c) = (1 - 0.10) \times (400 / 20) = 18

bulunur. Toplamın varyansı için bu değer

N^2 = 40.000

ile çarpıldığında sonuç

720.000

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki küme başına ortalama hastalıklı bitki sayısını (

\bar{y}_c

) hesaplayın.

\bar{y}_c = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{300}{20} = 15

Kitle toplamını tahmin etmek için öncelikle seçilen kümelerdeki ortalama değerin bulunması gerekir.

2

Kitle toplamı tahminini (

\hat{Y}

) hesaplayın.

\hat{Y} = N \times \bar{y}_c = 200 \times 15 = 3000

Tek aşamalı küme örneklemesinde toplam tahmini, küme sayısı (N) ile küme başına düşen ortalamanın çarpımıyla elde edilir.

3

Ortalama tahmininin varyansını (

\hat{V}(\bar{y}_c)

) hesaplayın.

\hat{V}(\bar{y}_c) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s_c^2}{n} = \left(1 - \frac{20}{200}\right) \frac{400}{20} = 0.90 \times 20 = 18

Örneklem iadesiz seçildiği için Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) olan

(1-f)

kullanılarak ortalamanın varyansı bulunur.

4

Kitle toplamı tahmininin varyansını (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplayın.

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \times \hat{V}(\bar{y}_c) = 200^2 \times 18 = 40.000 \times 18 = 720.000

Toplamın varyansına geçiş yaparken ortalamanın varyansı kitledeki küme sayısının karesi (

N^2

) ile genişletilmelidir.

Anahtar Kavram

Tek Aşamalı Küme Örneklemesinde Kitle Toplamı ve Varyans Tahmini

Soru 66Soru →

Bir telekomünikasyon şirketinin altyapısında toplam $N=50$ adet ana dağıtım santrali bulunmaktadır. Her bir santralde (kümede) eşit sayıda ve $M=24$ adet fiber optik port dolabı yer almaktadır. Şirket, santrallerdeki toplam aktif bağlantı sayısını tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=5$ adet santrali örnekleme seçmiştir.

Seçilen santrallerdeki aktif bağlantı sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Santral (Küme)	Aktif Bağlantı Sayısı ( $y_i$ )
1	120
2	150
3	140
4	110
5	130

Buna göre, tüm santrallerdeki toplam aktif bağlantı sayısı tahmini ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

6.500

ve

125.000

6.500

ve

112.500

6.500

ve

2.250

156.000

ve

112.500

6.500

ve

90.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6.500$ ve $112.500$

Cevap

Doğru değerler sırasıyla

6.500

ve

112.500

'dür.

Kitle toplamı tahmini, kitledeki küme sayısı ile örneklemdeki küme toplamlarının ortalaması çarpılarak

\hat{Y} = 50 \times 130 = 6.500

bulunur. Bu tahminin varyansı hesaplanırken, örneklem varyansı

s_c^2 = 250

olarak elde edilir. Ardından

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 (1 - f) \frac{s_c^2}{n}

formülüne göre

2.500 \times 0,90 \times 50

işlemi yapılarak varyans değeri

112.500

olarak hatasız bir şekilde tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme seçilen kümelerin toplamlarına ait örneklem ortalamasını (

\bar{y}

) hesaplayınız.

\bar{y} = \frac{120 + 150 + 140 + 110 + 130}{5} = \frac{650}{5} = 130

Eşit büyüklüklü kümelerde kitle toplamını tahmin edebilmek için öncelikle örneklemdeki kümelerin ortalama değerinin bulunması gerekir.

2

Kitle toplamı tahminini (

\hat{Y}

) elde ediniz.

\hat{Y} = N \times \bar{y} = 50 \times 130 = 6.500

Küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini, kitledeki toplam küme sayısı (

N

) ile örneklemdeki kümelerin ortalamasının çarpımıyla elde edilir.

3

Kümeler arası örneklem varyansını (

s_c^2

) hesaplayınız.

s_c^2 = \frac{(-10)^2 + 20^2 + 10^2 + (-20)^2 + 0^2}{5-1} = \frac{1000}{4} = 250

Tahminin varyansını bulabilmek için örnekleme alınan

y_i

değerlerinin kendi ortalamalarından sapmalarının kareleri toplamının

n-1

'e bölünmesiyle küme varyansı elde edilir.

4

Kitle toplamı tahmininin varyansını (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplayınız.

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \times (1 - \frac{n}{N}) \times \frac{s_c^2}{n} = 50^2 \times (1 - \frac{5}{50}) \times \frac{250}{5} = 2.500 \times 0,90 \times 50 = 112.500

Toplamın varyans tahmini, ortalama varyansının

N^2

ile çarpılması ve sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) formüle dâhil edilmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Eşit Büyüklüklü Kümelerde Kitle Toplamı ve Varyans Tahmini

Soru 67Soru →

Büyük bir araştırma şirketi, ülke genelindeki organize sanayi bölgelerinde (OSB) faaliyet gösteren KOBİ'lerin dijitalleşme endeksini tahmin etmek istemektedir. Ülke genelindeki tüm KOBİ'leri kapsayan güncel ve eksiksiz bir listeye (örnekleme çerçevesi) ulaşılamamaktadır. Ancak, ülkedeki tüm OSB'lerin tam listesi mevcuttur. Araştırmacılar, saha maliyetlerini ve zamanı optimize etmek amacıyla, OSB listesinden rastgele 20 OSB seçmiş ve seçilen bu OSB'lerde yer alan tüm KOBİ'lerle yüz yüze görüşerek verileri eksiksiz olarak derlemiştir. (Tek aşamalı küme örneklemesi).

Bu örnekleme tasarımı ve temel kavramları bağlamında, aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Yöntemden beklenen istatistiksel etkinliğin en üst düzeye çıkması için, her bir OSB'nin kendi içindeki KOBİ'lerin dijitalleşme düzeyi açısından yüksek derecede homojen, OSB'ler arasında ise belirgin bir heterojenlik olması temel varsayımdır.

Araştırmada nihai veriler KOBİ'lerden elde edildiğinden, hem gözlem birimi hem de örnekleme birimi KOBİ'lerdir; OSB listesi ise yalnızca kitleyi coğrafi olarak sınırlandıran bir çerçeve işlevi görmektedir.

Örnekleme biriminin OSB, gözlem biriminin KOBİ olduğu bu yapıda eleman düzeyinde çerçeve bulunmaması sorunu çözülmüş olup; tasarımın etkinliği, kümelerin (OSB'lerin) kendi içindeki heterojenliği ölçüsünde artış gösterir.

Bu yöntemde istatistiksel duyarlılığın yüksek olması, aynı OSB içindeki KOBİ'lerin dijitalleşme puanlarının birbirine çok benzemesine, dolayısıyla küme içi korelasyon katsayısının (ICC) 1'e olabildiğince yakın olmasına bağlıdır.

Seçilen kümelerdeki (OSB'lerdeki) tüm KOBİ'lere eksiksiz ulaşıldığından, bu çalışmadaki tahmin sapmaları yalnızca ölçümden kaynaklanan örnekleme dışı hatalardır; örnekleme hatası (varyans) sıfıra inmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örnekleme biriminin OSB, gözlem biriminin KOBİ olduğu bu yapıda eleman düzeyinde çerçeve bulunmaması sorunu çözülmüş olup; tasarımın etkinliği, kümelerin (OSB'lerin) kendi içindeki heterojenliği ölçüsünde artış gösterir.

Cevap

Örnekleme biriminin OSB, gözlem biriminin KOBİ olduğu bu yapıda eleman düzeyinde çerçeve bulunmaması sorunu çözülmüş olup; tasarımın etkinliği, kümelerin (OSB'lerin) kendi içindeki heterojenliği ölçüsünde artış gösterir.

Tek aşamalı küme örneklemesinde çerçevenin eleman (KOBİ) yerine kümeler (OSB) düzeyinde olması liste oluşturma zorluğunu ve yüksek maliyetini çözer. Çerçeveden doğrudan seçilen OSB örnekleme birimini, nihai verisi alınan KOBİ ise gözlem birimini ifade eder. Teorik olarak küme örneklemesinde etkinliğin en üst seviyeye çıkması, her bir kümenin (OSB'nin) adeta araştırma evreninin küçük bir modeli gibi kendi içinde heterojen (çeşitlilik barındıran) bir yapıda olmasına bağlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmanın örnekleme birimini ve gözlem birimini belirlemek.

Rastgele seçilen birimler Organize Sanayi Bölgeleri (OSB) olduğu için örnekleme birimi OSB'dir. Verinin bilfiil toplandığı birimler KOBİ'ler olduğu için gözlem birimi KOBİ'dir.

Kavramsal olarak çerçevede listelenen ve olasılıklı seçime tabi tutulan yapı örnekleme birimini, anketin uygulandığı yapı ise gözlem birimini tanımlar.

2

Tasarımın uygulanma gerekçesini değerlendirmek.

Araştırmacıların bireysel KOBİ çerçevesine sahip olmaması, OSB'lerin doğal kümeler olarak kullanılmasıyla aşılmış, maliyet ve zaman tasarrufu sağlanmıştır.

Küme örneklemesinin en büyük pratik avantajı, eleman düzeyinde çerçevenin bulunmadığı durumlarda çerçeve ve ulaşım maliyetlerini minimize etmesidir.

3

Küme örneklemesinde etkinliği maksimize eden içsel yapıyı (heterojenlik/homojenlik) analiz etmek.

Yüksek etkinlik için OSB'lerin kendi içlerinde farklı nitelikte KOBİ'leri barındırması (heterojen olması) ve OSB'ler arası ortalamaların birbirine benzer (homojen) olması gerektiği sonucuna ulaşılır.

Her bir kümenin kitlenin adeta bir minyatürü olması, kitleyi daha iyi yansıtmasını sağlar ve örneklemden elde edilen tahminin varyansını düşürür.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Birimler, Çerçeve Kullanımı ve İçsel Yapı Özellikleri

Soru 68Soru →

Bir enerji denetim firması, belirli bir Organize Sanayi Bölgesi'ndeki (OSB) endüstriyel üretim tesislerinde kullanılan aydınlatma armatürleri içinde LED armatürlerin oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu OSB'de toplam $N = 50$ üretim tesisi (küme) bulunmaktadır. Firma, bu tesisler arasından $n = 5$ tesisi basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçmiş ve bu tesislerdeki toplam aydınlatma armatürü sayısını ( $M_i$ ) ile LED armatür sayısını ( $a_i$ ) aşağıdaki gibi belirlemiştir:

Tesis (Küme)	Toplam Armatür ( $M_i$ )	LED Armatür ( $a_i$ )
1	40	24
2	40	34
3	50	40
4	60	50
5	60	52

Buna göre, bu organize sanayi bölgesindeki tüm tesisler için LED aydınlatma armatürü oranının küme örneklemesi nokta tahmini ve bu tahminin varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,79

ve

0,001760

0,80

ve

0,001760

0,79

ve

0,001584

0,80

ve

0,001584

0,80

ve

0,007920

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,80$ ve $0,001584$

Cevap

Doğru nokta tahmini 0,80 ve doğru varyans değeri 0,001584'tür.

Küme örneklemesinde oran tahmini, örnekleme çıkan tüm kümelerdeki ilgilenilen eleman sayılarının toplamının (

\sum a_i

), kümelerin toplam büyüklüğüne (

\sum M_i

) bölünmesiyle bulunur. Burada nokta tahmini

\hat{P} = \frac{200}{250} = 0,80

'dir. Oran tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken her küme için

y_i = a_i - \hat{P}M_i

farkları bulunur ve bu farkların kareleri toplamından

s_c^2 = \frac{88}{4} = 22

elde edilir. Sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f = 1 - \frac{5}{50} = 0,9

) formüle dahil edilerek

\hat{V}(\hat{P}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} s_c^2

işlemi sonucunda varyans

\frac{0,9}{5 \times 50^2} \times 22 = 0,001584

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısının ve örneklemdeki ilgilenilen özelliğe sahip birim sayısının bulunması.

\sum M_i = 40+40+50+60+60 = 250

ve

\sum a_i = 24+34+40+50+52 = 200

.

Küme örneklemesinde oran tahminleyicisi

\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i}

formülüyle hesaplanır.

2

Nokta tahmininin (kitle oranının) hesaplanması.

\hat{P} = \frac{200}{250} = 0,80

.

Örnekleme alınan kümelerdeki ilgilenilen toplam birim sayısının, kümelerdeki toplam eleman sayısına bölünmesi ağırlıklandırılmış oran tahminini verir.

3

Varyans hesabı için kümelerin ortalama büyüklüğünün (

\bar{M}

) ve

y_i = a_i - \hat{P}M_i

değerlerinin hesaplanması.

\bar{M} = \frac{250}{5} = 50

.

y_i

değerleri sırasıyla:

24 - 0,8(40) = -8

;

34 - 32 = 2

;

40 - 40 = 0

;

50 - 48 = 2

;

52 - 48 = 4

.

Varyans formülünde kümeler arası değişim, oran tahminine göre düzeltilmiş hata terimleri (

y_i

) üzerinden bulunur.

4

Örneklem varyansının (

s_c^2

) hesaplanması.

\sum y_i^2 = (-8)^2 + 2^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2 = 64 + 4 + 0 + 4 + 16 = 88

.

s_c^2 = \frac{88}{5-1} = 22

.

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n-1}

formülü kullanılarak küme içi kareler toplamı elde edilir.

5

SKD (Sonlu Kitle Düzeltme) çarpanının ve varyansın hesaplanması.

f = \frac{5}{50} = 0,1

ve

SKD = 1 - 0,1 = 0,9

.

\hat{V}(\hat{P}) = \frac{0,9}{5 \times 50^2} \times 22 = \frac{0,9}{12500} \times 22 = 0,001584

.

Küme örneklemesinde oran tahmininin varyansı

\hat{V}(\hat{P}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} s_c^2

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini ve Varyansı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 69Soru →

Bir araştırmada hedef kitle, her biri $M$ adet gözlem biriminden oluşan eşit büyüklükteki doğal kümelere ayrılmıştır. Yapılan detaylı varyans analizinde, her bir kümenin kendi içindeki ortalamasının, kitlenin genel ortalamasına tam olarak eşit olduğu (kümeler arası varyansın sıfır olduğu) tespit edilmiştir.

Buna göre, bu kitle üzerinden yapılacak bir tek aşamalı küme örneklemesi tasarımı için küme içi korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) ve bu tasarımın basit rastgele örneklemeye (BRÖ) göre etkinliği hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

\rho

katsayısı

-\frac{1}{M-1}

değerini alır, tasarım etkisi (

Deff

) sıfır olur ve küme örneklemesi basit rastgele örneklemeye göre maksimum etkinliğe ulaşır.

Kümeler arası fark bulunmadığı için

\rho

katsayısı

0

değerini alır, tasarım etkisi

1

olacağından iki örnekleme yönteminin etkinliği birbirine eşittir.

Her küme kitleyi mükemmel temsil ettiği için

\rho

katsayısı

+1

değerini alır ve tasarım etkisi en yüksek seviyeye çıkacağından etkinlik minimum düzeye iner.

\rho

katsayısı pozitif çıkar ancak kitle ortalaması kümeler arasında değişmediği için küme örneklemesinden ziyade tabakalı örnekleme ilkelerine uyulmuştur ve etkinlik düşüktür.

Kümeler arası varyans hesaplanırken örnekleme birimi ile gözlem birimi aynı kabul edildiği için

\rho

katsayısı anlamsızlaşır ve etkinlik karşılaştırması yapılamaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\rho$ katsayısı $-\frac{1}{M-1}$ değerini alır, tasarım etkisi ( $Deff$ ) sıfır olur ve küme örneklemesi basit rastgele örneklemeye göre maksimum etkinliğe ulaşır.

Cevap

\rho

katsayısı teorik alt sınırı olan

-\frac{1}{M-1}

değerini alır ve tasarım etkisi sıfırlandığı için küme örneklemesi BRÖ'ye göre mümkün olan en yüksek etkinliğe sahiptir.

Kümelerin ortalamasının kitle ortalamasına tam olarak eşit olması, kümeler arası varyansın sıfır (

MSB=0

) olduğu anlamına gelir. Varyans analizine dayalı formülde

\rho = \frac{MSB - MSW}{MSB + (M-1)MSW}

eşitliğinde

MSB=0

yazıldığında

\rho = -\frac{1}{M-1}

sonucuna ulaşılır. Tasarım etkisi formülünde (

Deff = 1 + (M-1)\rho

) bu değer yerine konduğunda sonuç

0

çıkar. Varyansın sıfıra inmesi, küme örneklemesinin BRÖ'ye göre maksimum etkinliğe (hatasız tahmine) ulaştığını kesin olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Senaryodaki varyans ilişkisini tespit etme.

Tüm küme ortalamaları genel kitle ortalamasına eşit olduğuna göre, kümeler arası varyans (

S_b^2

veya

MSB

)

0

'dır.

Kümeler arası varyans, küme ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının karesel ortalamasıdır.

2

Varyans analizine göre

\rho

katsayısını hesaplama.

\rho = \frac{MSB - MSW}{MSB + (M-1)MSW}

formülünde

MSB = 0

yazılırsa,

\rho = \frac{-MSW}{(M-1)MSW} = -\frac{1}{M-1}

bulunur.

\rho

katsayısı sadece birimlerin benzerliğini değil, aynı zamanda toplam varyansın ne kadarının kümeler arasından geldiğini ölçer.

3

Tasarım etkisini (

Deff

) hesaplama.

Deff = 1 + (M-1)\rho

formülünde

\rho

yerine

-\frac{1}{M-1}

konulduğunda,

Deff = 1 + (M-1)\left(-\frac{1}{M-1}\right) = 1 - 1 = 0

elde edilir.

Tasarım etkisi, küme örneklemesinin varyansının basit rastgele örneklemenin varyansına oranını verir.

4

Etkinliği yorumlama.

Tasarım etkisinin

0

olması, küme örneklemesindeki varyansın

0

olduğu anlamına gelir. Yani tek bir küme seçmek bile kitle ortalamasını hatasız tahmin etmeye yeterlidir.

Varyansın sıfır olması, basit rastgele örneklemeye (varyansı

0

'dan büyüktür) göre sonsuz/maksimum bir etkinlik demektir.

Anahtar Kavram

Küme İçi Korelasyon Katsayısının Teorik Alt Sınırı ve Etkinlik

Soru 70Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) müfettişi, ülke genelindeki emeklilik dosyalarında yapılan ortalama işlem hatası miktarını tahmin etmek amacıyla iki aşamalı küme örneklemesi tasarımı uygulayacaktır. Birinci aşamada Sosyal Güvenlik Merkezleri (birincil örnekleme birimi), ikinci aşamada ise seçilen merkezlerde işlem gören emeklilik dosyaları (ikincil örnekleme birimi) basit rastgele örnekleme ile seçilecektir.

Müfettişin geçmiş denetim raporlarından elde ettiği bilgiye göre; aynı merkezde işlem gören dosyalardaki hata miktarları arasındaki küme içi korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) pozitif yönde oldukça yüksektir. Bunun nedeni, her merkezin kendi personeline özgü benzer işlem standartları ve ortak eğitim altyapısına sahip olmasıdır.

Sabit bir zaman ve personel maliyeti kısıtı altında, tahminin varyansını (örnekleme hatasını) en aza indirmek isteyen bu müfettişin, örneklem dağılımı ve tasarım stratejisi bağlamında aşağıdaki kararlardan hangisini alması istatistiksel açıdan en etkindir?

Aynı merkezin dosyalarından elde edilecek bilginin tekrarlı nitelikte olması nedeniyle, denetlenecek merkez sayısını (

n

) artırıp, her bir merkezden incelenecek dosya sayısını (

m

) düşük tutmalıdır.

Yüksek korelasyon merkezlerin birbirine benzediğini gösterdiğinden, maliyetleri kısmak amacıyla denetlenecek merkez sayısını (

n

) düşük tutup, her merkezden incelenecek dosya sayısını (

m

) artırmalıdır.

Varyansı düşürmek amacıyla, birinci aşamadaki örnekleme kesrini (

f_1 = \frac{n}{N}

) olabildiğince küçülterek sonlu kitle düzeltme çarpanının etkisinden en üst düzeyde faydalanmalıdır.

Etkinliği artırmak için, ülke genelindeki merkezleri kendi içinde olabildiğince homojen (benzer hata oranlarına sahip), merkezler arasında ise olabildiğince heterojen olacak şekilde yeniden gruplandırmalıdır.

İki aşamalı tasarımın doğasından kaynaklanan rastgele örnekleme hatasını ortadan kaldırmak için, örneklem dağılımını değiştirmek yerine yalnızca dosya inceleme kriterlerindeki ölçüm hatalarını gidermeye odaklanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Aynı merkezin dosyalarından elde edilecek bilginin tekrarlı nitelikte olması nedeniyle, denetlenecek merkez sayısını ( $n$ ) artırıp, her bir merkezden incelenecek dosya sayısını ( $m$ ) düşük tutmalıdır.

Cevap

Aynı merkezin dosyalarından elde edilecek bilginin tekrarlı nitelikte olması nedeniyle, denetlenecek merkez sayısını (

n

) artırıp, her bir merkezden incelenecek dosya sayısını (

m

) düşük tutmalıdır.

İki aşamalı küme örneklemesinde küme içi korelasyon katsayısının (

\rho

) pozitif ve yüksek olması, aynı kümede (Sosyal Güvenlik Merkezinde) yer alan birimlerin (dosyaların) oldukça homojen olduğunu gösterir. Başka bir deyişle, aynı merkezden ardı ardına seçilecek her yeni dosya, araştırmacıya büyük oranda birbirinin tekrarı olan bilgiler sunacaktır. Sabit bir maliyet kısıtı altında kitle ortalaması tahmininin varyansını (örnekleme hatasını) minimize etmek için, bu bilgi tekrarından kaçınılması zorunludur. Farklı yapıdaki merkezlerin varyansını örnekleme yansıtabilmek adına birinci aşamada seçilecek küme (merkez) sayısı (

n

) artırılmalı, her bir kümeden çekilecek birim (dosya) sayısı (

m

) ise mümkün olduğunca düşük tutulmalıdır. Bu, varyans optimizasyonunun temel ilkesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans bileşenleri ile küme içi korelasyon (ICC) arasındaki ilişkinin analiz edilmesi.

Yüksek pozitif ICC, aynı merkezdeki (kümedeki) emeklilik dosyalarının birbirine çok benzer özellikler ve hata tipleri gösterdiğini ifade eder.

Örnekleme tasarımında varyansı minimize edebilmek için küme içi homojenlik düzeyinin birim seçim stratejisine etkisini belirlemek gerekir.

2

Maliyet kısıtı altında optimizasyon prensibinin uygulanması.

Aynı kümeden seçilecek ilave dosyaların getireceği yeni bilgi miktarı düşük olduğundan, kaynak israfından ve bilgi tekrarından kaçınılması gerektiği tespit edilir.

Sabit bütçe ile en fazla varyans azalışı, birbirine benzeyen birimlere bütçe ayırmak yerine farklı kümeleri (merkezleri) örnekleme katarak elde edilir.

3

Optimum örneklem dağılımının (

n

ve

m

) formüle edilmesi.

Birinci aşamada seçilen merkez sayısı (

n

) olabildiğince artırılmalı, her bir merkezden incelenen dosya sayısı (

m

) ise olabildiğince düşük tutulmalıdır.

Kitle ortalamasının varyansını düşürmede kümeler arası çeşitliliği yansıtmak, küme içi çeşitliliği yansıtmaktan istatistiksel olarak daha etkilidir.

Anahtar Kavram

İki Aşamalı Küme Örneklemesinde Optimum Örneklem Dağılımı

Soru 71Soru →

Bir Sağlık Bakanlığı denetçisi, ülke genelindeki ilçelerde bulunan Aile Sağlığı Merkezlerindeki (ASM) ortalama hasta bekleme süresini tahmin etmek amacıyla iki aşamalı küme örneklemesi tasarımı kullanacaktır. Birinci aşamada $N$ adet ilçe (küme) arasından $n$ adet ilçe, ikinci aşamada ise seçilen her ilçedeki $M$ adet ASM arasından $m$ adet ASM basit rastgele örnekleme yöntemiyle iadesiz olarak seçilecektir.

Ön analizler, ilçeler arasındaki ortalama bekleme sürelerinin birbirinden çok farklı olduğunu (yüksek kümeler arası varyans), ancak aynı ilçe içindeki ASM'lerin bekleme sürelerinin birbirine oldukça yakın olduğunu (düşük küme içi varyans) göstermektedir.

Bu bulgulara göre, kısıtlı bir bütçe ile çalışılırken kitle ortalaması tahmininin varyansını küçültmek ve tahminin duyarlılığını artırmak için araştırmacının örneklem hacimlerinin ( $n$ ve $m$ ) dağılımında aşağıdakilerden hangisini tercih etmesi istatistiksel açıdan en uygundur?

Birinci aşamada seçilecek ilçe sayısını (

n

) olabildiğince artırıp, seçilen her ilçeden örneğe alınacak ASM sayısını (

m

) düşük tutması

İlçeler arası farklılıkların yüksek olmasından dolayı birinci aşamada seçilecek ilçe sayısını (

n

) olabildiğince düşük tutup, ilçe içi ASM sayısını (

m

) artırması

Varyansın asıl kaynağının örnekleme dışı hatalar olduğunu varsayarak, örneklem hacimlerini (

n

ve

m

) değiştirmeden sadece ölçüm sürecindeki hatalara odaklanması

Örnekleme birimi ile gözlem birimini özdeş sayarak, kümeler arası varyansı göz ardı edip tüm bütçeyi ikinci aşamadaki ASM'lerin (

m

) seçimine ayırması

İkinci aşama varyans bileşenindeki Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) etkisini sıfırlamak için birinci aşamadaki

n

sayısını azaltarak her ilçede tam sayım yapması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci aşamada seçilecek ilçe sayısını ( $n$ ) olabildiğince artırıp, seçilen her ilçeden örneğe alınacak ASM sayısını ( $m$ ) düşük tutması

Cevap

Birinci aşamada seçilecek ilçe sayısını (

n

) olabildiğince artırıp, seçilen her ilçeden örneğe alınacak ASM sayısını (

m

) düşük tutması

İki aşamalı küme örneklemesinde, toplam örnekleme hatasını (varyansı) en aza indirmek için bütçenin varyansı yüksek olan bileşene yönlendirilmesi gerekir. Soru kökünde ilçeler arası farklılığın (kümeler arası varyans) yüksek olduğu belirtilmiştir. Bu yüksek farklılığı örnekleme yansıtabilmek ve hata payını düşürebilmek için rastgele seçilen ilçe sayısının (

n

) fazla olması şarttır. Öte yandan, aynı ilçe içindeki ASM'ler benzer olduğundan (düşük küme içi varyans), bütçeyi tüketmemek adına her ilçeden az sayıda ASM (

m

) seçilmesi optimum bir örneklem dağılımı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

İki aşamalı küme örneklemesinde ortalama tahmininin varyans formülünün bileşenlerini analiz etmek.

Toplam varyansın, kümeler arası (ilçeler arası) varyans bileşeni ile küme içi (ASM'ler arası) varyans bileşeninin toplamından oluştuğu görülür.

Hangi aşamadaki örneklem büyüklüğünün (

n

veya

m

) varyansı düşürmede daha etkili olduğunu bulmak için matematiksel temel gereklidir.

2

Yüksek kümeler arası varyans durumunda

n

'nin (ilçe sayısı) etkisini değerlendirmek.

Kümeler arası farklılık yüksek olduğundan, farklı ilçeleri yeterince temsil edebilmek ve varyansın birinci (ve en büyük) bileşenini küçültmek için

n

'nin mümkün olduğunca büyük seçilmesi gerektiği belirlenir.

Varyans formülünde kümeler arası varyans doğrudan

n

'ye bölünür.

n

ne kadar büyükse, bu yüksek değişkenliğin hata payına etkisi o kadar azalır.

3

Düşük küme içi varyans ve bütçe kısıtı altında

m

'nin (ASM sayısı) ideal durumunu tespit etmek.

Aynı ilçe içindeki ASM'ler birbirine benzediği için her ilçeden sadece birkaç ASM çekmek yeterli bilgiyi sağlar. Kısıtlı bütçe,

m

'yi düşük tutup asıl yatırımı

n

'ye yapmayı zorunlu kılar.

Homojen (benzer) birimlerden tekrar tekrar örneklem almak ekstra bilgi sağlamaz ve maliyeti boşuna artırır.

Anahtar Kavram

İki Aşamalı Küme Örneklemesinde Optimum Örneklem Dağılımı ve Varyans Bileşenleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 72Soru →

Sağlık Bakanlığı, büyük bir metropolde bulunan devlet hastanelerinde görev yapan hemşirelerin mesleki tükenmişlik düzeylerini incelemek üzere bir saha araştırması planlamaktadır. Araştırmacı, bölgedeki tüm hemşirelerin güncel bir isim listesine (çerçeveye) sahip değildir; ancak metropoldeki tüm devlet hastanelerinin güncel listesi mevcuttur. Bütçe ve zaman kısıtları nedeniyle araştırmacı, rastgele seçilen belirli sayıdaki hastaneye giderek, yalnızca bu seçilmiş hastanelerde çalışan tüm hemşirelere anket uygulama kararı almıştır.

Bu araştırmanın örnekleme tasarımı (küme örneklemesi) dikkate alındığında, birimlerin tanımlanması ve bu yöntemin istatistiksel olarak yüksek etkinlik sağlaması için grupların (hastanelerin) sahip olması gereken yapısal özellik hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Örnekleme birimi hastane, gözlem birimi hemşiredir; yöntemin etkinliği için hastanelerin kendi içinde heterojen, hastaneler arasında ise olabildiğince homojen olması gerekir.

Örnekleme birimi hastane, gözlem birimi hemşiredir; yöntemin etkinliği için hastanelerin kendi içinde homojen, hastaneler arasında ise belirgin şekilde heterojen olması gerekir.

Örnekleme birimi hemşire, gözlem birimi hastanedir; çerçeve eksikliğinden kaynaklanan örnekleme dışı hataları azaltmak için hastanelerin kendi içinde heterojen olması sağlanmalıdır.

Hem örnekleme birimi hem de gözlem birimi hastanedir; her bir hastanenin kitlenin tam bir temsilcisi olabilmesi için hastaneler arası varyansın maksimum olması hedeflenir.

Örnekleme birimi hastane, gözlem birimi hemşiredir; bu tasarım yalnızca ölçüm hatalarını gidermek için kullanılır ve hastanelerin içsel dağılımı yöntemin varyansını etkilemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örnekleme birimi hastane, gözlem birimi hemşiredir; yöntemin etkinliği için hastanelerin kendi içinde heterojen, hastaneler arasında ise olabildiğince homojen olması gerekir.

Cevap

Örnekleme birimi hastane, gözlem birimi hemşiredir; yöntemin etkinliği için hastanelerin kendi içinde heterojen, hastaneler arasında ise olabildiğince homojen olması gerekir.

Küme örneklemesinde, elemanların listesine ulaşılamadığı durumlarda elemanların doğal olarak bir araya geldiği grupların (kümelerin) listesi kullanılarak seçim yapılır. Bu nedenle çerçevede yer alan ve seçimi yapılan 'hastaneler' örnekleme birimidir. Nihai ölçümün yapıldığı 'hemşireler' ise gözlem birimidir. Yöntemin varyansının düşük (etkinliğinin yüksek) olması için seçilen herhangi bir hastanenin (kümenin) tüm kitleyi temsil edebilmesi, yani hastane içindeki hemşirelerin her türden tükenmişlik profilini barındırması (içi heterojen) ve hastanelerin birbirinden çok farklı olmaması (arası homojen) gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmanın çekiliş (seçim) aşamasında hangi listelerin kullanıldığını belirle.

Araştırmacının elinde hemşire listesi yok, sadece hastane listesi var. Çekiliş hastaneler arasından yapılmıştır.

Örnekleme çerçevesini ve dolayısıyla örnekleme birimini tespit etmek.

2

Verilerin (ölçümlerin) fiilen kimden veya nereden derlendiğini tespit et.

Tükenmişlik düzeyi anketi doğrudan hemşirelere uygulanmıştır.

Gözlem birimini (elemanı) belirlemek.

3

Birinci ve ikinci adımı birleştirerek örnekleme tasarımı kavramlarını eşleştir.

Örnekleme birimi: Hastane (Küme). Gözlem birimi: Hemşire (Eleman).

Birim karmaşasını önlemek.

4

Küme örneklemesinin yüksek etkinlik (düşük varyans) sağlaması için gereken küme içi ve kümeler arası varyans yapısını analiz et.

Seçilen az sayıdaki kümenin tüm kitleyi temsil edebilmesi için her bir küme kitlenin bir minyatürü olmalıdır. Bu nedenle kümeler kendi içinde heterojen (farklı özelliklerdeki elemanları barındıran), kümeler arası ise homojen (birbirine benzeyen) olmalıdır.

Tabakalı örnekleme ile küme örneklemesinin temel yapısal farklılığını ayırt etmek.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Birim Tanımları ve Küme Yapısı (İçi Heterojen, Arası Homojen)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 73Soru →

Bir il milli eğitim müdürlüğüne bağlı toplam $N=100$ adet sınav merkezi bulunmaktadır. Her bir merkezde eşit sayıda ve $M=40$ adet sınav salonu yer almaktadır. Tüm merkezlerdeki kusurlu (bakım gerektiren) salon sayısının tahmin edilmesi istenmektedir. Bu amaçla, kümelerden (merkezlerden) basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=5$ adet merkez seçilmiş ve bu merkezlerdeki kusurlu salon sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Seçilen Merkez ( $i$ )	Kusurlu Salon Sayısı ( $y_i$ )
1	4
2	2
3	5
4	3
5	6

Buna göre, tüm merkezlerdeki toplam kusurlu salon sayısı tahmini ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

\hat{Y} = 400

ve

\hat{V}(\hat{Y}) = 5.000

\hat{Y} = 16.000

ve

\hat{V}(\hat{Y}) = 7.600.000

\hat{Y} = 400

ve

\hat{V}(\hat{Y}) = 4.750

\hat{Y} = 400

ve

\hat{V}(\hat{Y}) = 47,5

\hat{Y} = 400

ve

\hat{V}(\hat{Y}) = 0,475

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{Y} = 400$ ve $\hat{V}(\hat{Y}) = 4.750$

Cevap

Doğru tahmin değeri

\hat{Y} = 400

ve bu tahminin varyansı

\hat{V}(\hat{Y}) = 4.750

olarak hesaplanır.

Soruda istenilen kitle toplamı tahmini, küme toplamları ortalamasının kitledeki küme sayısıyla çarpılmasıyla

\hat{Y} = 100 \cdot 4 = 400

olarak bulunur. Bu tahminin varyansı ise ortalamanın varyansı hesaplanıp

N^2

(10.000) ile çarpılmasıyla elde edilir. Örneklem varyansı

s_c^2 = 2,5

ve SKD çarpanı

(1 - 0,05) = 0,95

dikkate alındığında,

\hat{V}(\hat{Y}) = 10.000 \cdot 0,95 \cdot (2,5 / 5) = 4.750

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki küme ortalamasını (

\bar{y}_c

) hesaplayınız.

\bar{y}_c = \frac{4 + 2 + 5 + 3 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4

Kitle toplamını tahmin edebilmek için öncelikle seçilen kümelerdeki değerlerin ortalamasına ihtiyaç vardır.

2

Kitle toplamı tahminini (

\hat{Y}

) hesaplayınız.

\hat{Y} = N \cdot \bar{y}_c = 100 \cdot 4 = 400

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde toplam tahmini, kitledeki toplam küme sayısının (

N

) örneklem küme ortalamasıyla çarpılmasıyla elde edilir.

3

Örneklemdeki küme değerlerinin varyansını (

s_c^2

) hesaplayınız.

s_c^2 = \frac{(4-4)^2 + (2-4)^2 + (5-4)^2 + (3-4)^2 + (6-4)^2}{5-1} = \frac{0 + 4 + 1 + 1 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2,5

Tahminin varyansını bulabilmek için küme değerlerinin kendi içindeki varyansına (örneklem varyansı) ihtiyacımız vardır.

4

Örnekleme kesrini (

f

) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (SKD) hesaplayınız.

f = \frac{n}{N} = \frac{5}{100} = 0,05

ve SKD

= 1 - f = 1 - 0,05 = 0,95

Örneklem kitleye kıyasla önemli bir oranda olduğu için (iadesiz seçim) varyans formülünde

(1-f)

ile düzeltme yapılmalıdır.

5

Toplam tahminin varyansını (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplayınız.

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot (1 - f) \cdot \frac{s_c^2}{n} = 100^2 \cdot 0,95 \cdot \frac{2,5}{5} = 10.000 \cdot 0,95 \cdot 0,5 = 4.750

Kitle toplamının varyansı, ortalama tahmininin varyansının kitledeki küme sayısının karesi (

N^2

) ile genişletilmiş halidir.

Anahtar Kavram

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde toplam tahmini ve varyansının hesaplanması

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 74Soru →

Bir büyükşehir belediyesine bağlı ulaşım dairesi, filosunda bulunan toplam $N=125$ adet yolcu minibüsünün koltuk deformasyon durumunu incelemek istemektedir. Her bir minibüste eşit sayıda ve $M=25$ adet yolcu koltuğu bulunmaktadır. Filodaki tüm minibüsler arasından basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=5$ adet minibüs seçilmiş ve bu minibüslerdeki tamir gerektiren (deforme olmuş) koltuk sayıları tespit edilmiştir.

Örnekleme sonucunda elde edilen veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Minibüs	Tamir Gerektiren Koltuk Sayısı
1	5
2	13
3	9
4	7
5	11

Buna göre, filodaki toplam tamir gerektiren koltuk sayısının tahmini ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

1.125

ve

30.000

1.125

ve

31.250

1.125

ve

1,92

28.125

ve

30.000

1.125

ve

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1.125$ ve $30.000$

Cevap

Tahmin edilen kitle toplamı

1.125

ve bu tahminin varyansı

30.000

'dir.

Soruda her bir küme (minibüs) için elde edilen değerler

5, 13, 9, 7

ve

11

'dir. Bu değerlerin ortalaması

\bar{y}_c = 9

ve kümeler arası örneklem varyansı

s_c^2 = 10

'dur. Toplam tamir gerektiren koltuk sayısının tahmini, kitledeki toplam küme sayısı (

N=125

) ile ortalamanın çarpımı olan

\hat{Y} = 125 \times 9 = 1.125

şeklinde bulunur. Bu tahminin varyansı ise,

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \frac{1-f}{n} s_c^2

formülünden yola çıkılarak hesaplanır. Kesir sadeleştirmesi yapıldığında

125^2 \times \frac{24}{125} \times 10 = 125 \times 24 \times 10 = 30.000

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme başına düşen örneklem ortalamasının (

\bar{y}_c

) hesaplanması.

\bar{y}_c = \frac{5 + 13 + 9 + 7 + 11}{5} = \frac{45}{5} = 9

Kitle toplamını tahmin etmek için öncelikle örneklemdeki kümelerin (minibüslerin) ortalamasını bulmak gerekir.

2

Kümeler arası örneklem varyansının (

s_c^2

) hesaplanması.

s_c^2 = \frac{(5-9)^2 + (13-9)^2 + (9-9)^2 + (7-9)^2 + (11-9)^2}{5-1} = \frac{16 + 16 + 0 + 4 + 4}{4} = \frac{40}{4} = 10

Tahmin varyansının hesaplanmasında kümeler arası farklılıkları yansıtan varyans değerine ihtiyaç vardır.

3

Kitle toplamının (

\hat{Y}

) tahmin edilmesi.

\hat{Y} = N \cdot \bar{y}_c = 125 \cdot 9 = 1.125

Küme örneklemesinde kitle toplamı, toplam küme sayısı ile örneklemdeki küme ortalamasının çarpımıyla elde edilir.

4

Kitle toplamının varyansının (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplanması.

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot \left(\frac{1-f}{n}\right) \cdot s_c^2 = 125^2 \cdot \left(\frac{1 - (5/125)}{5}\right) \cdot 10 = 125^2 \cdot \frac{120/125}{5} \cdot 10 = 125^2 \cdot \frac{24}{125} \cdot 10 = 125 \cdot 24 \cdot 10 = 30.000

Kitle toplamı tahmininin güvenirliğini ölçmek için

N^2

ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) içeren küme örneklemesi varyans formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamının ve toplam tahminin varyansının hesaplanması

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 75Soru →

Bir İl Kültür ve Turizm Müdürlüğü, il genelinde bulunan $N = 40$ halk kütüphanesindeki (küme) kitapların yıpranma durumunu incelemek ve onarım (ciltleme) gerektiren kitapların oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu amaçla rastgele $n = 4$ kütüphane seçilmiş ve bu kütüphanelerdeki toplam kitap sayıları ( $M_i$ ) ile onarım gerektiren kitap sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki gibi tespit edilmiştir:

Kütüphane ( $i$ )	Toplam Kitap Sayısı ( $M_i$ )	Onarım Gerektiren Kitap Sayısı ( $a_i$ )
1	400	60
2	600	60
3	200	60
4	800	120

Buna göre, il genelindeki halk kütüphanelerinde onarım gerektiren kitap oranının tahmini ( $\hat{P}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $V(\hat{P})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,150

ve

0,000540

0,150

ve

0,000600

0,175

ve

0,000540

0,175

ve

0,001688

0,150

ve

0,000405

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,150$ ve $0,000540$

Cevap

İl genelindeki kütüphanelerdeki kitaplar için onarım gerektiren kitap oranının tahmini

0,150

ve bu tahminin varyansı

0,000540

'tır.

Küme örneklemesinde eleman sayıları farklı (

M_i

) olduğunda kitle oranın tahmini ağırlıklı bir şekilde

\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i}

formülüyle hesaplanır ve

300/2000 = 0,150

bulunur. Varyans hesabında ise kümeler arası değişim dikkate alınarak

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n-1} = \frac{1800}{3} = 600

bulunur ve sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f

) eklenerek

V(\hat{P}) = \frac{1-f}{n\bar{M}^2} s_c^2 = \frac{0,9}{4 \times 250000} \times 600 = 0,000540

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam kitap sayısını (

\sum M_i

) ve toplam onarım gerektiren kitap sayısını (

\sum a_i

) hesaplayın.

\sum M_i = 400 + 600 + 200 + 800 = 2000

\sum a_i = 60 + 60 + 60 + 120 = 300

Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlem birimlerinin toplam sayısına göre ağırlıklandırılarak bulunur.

2

Kitle oranının tahminini (

\hat{P}

) hesaplayın.

\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{300}{2000} = 0,150

Kümeler farklı büyüklükte olduğu için basit ortalama yerine yığınsal (oran) tahminleyici kullanılmalıdır.

3

Varyans hesabında kullanılacak kümeler arası değişim için

a_i - \hat{P}M_i

sapmalarını bulun ve kareleri toplamını hesaplayın.

1. Küme:

60 - 0,15(400) = 60 - 60 = 0 \implies 0^2 = 0

2. Küme:

60 - 0,15(600) = 60 - 90 = -30 \implies (-30)^2 = 900

3. Küme:

60 - 0,15(200) = 60 - 30 = 30 \implies 30^2 = 900

4. Küme:

120 - 0,15(800) = 120 - 120 = 0 \implies 0^2 = 0

Kareler Toplamı =

0 + 900 + 900 + 0 = 1800

Küme örneklemesinde oran varyansı, her bir kümenin hedeflenen orandan ne kadar saptığını ölçen artıklar üzerinden bulunur.

4

Sapma kareleri üzerinden

s_c^2

değerini hesaplayın.

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n - 1} = \frac{1800}{4 - 1} = \frac{1800}{3} = 600

Örneklem üzerinden hesaplanan kümeler arası varyans tahmini, serbestlik derecesine (

n-1

) bölünerek elde edilir.

5

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (

1-f

) ve ortalama küme büyüklüğünü (

\bar{M}

) kullanarak varyans tahminini (

V(\hat{P})

) hesaplayın.

f = \frac{n}{N} = \frac{4}{40} = 0,1 \implies 1 - f = 0,9

\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{2000}{4} = 500

V(\hat{P}) = \frac{1-f}{n\bar{M}^2} s_c^2 = \frac{0,9}{4 \times 500^2} \times 600 = \frac{0,9}{1.000.000} \times 600 = \frac{540}{1.000.000} = 0,000540

N=40 bilindiği için fpc uygulanmalıdır ve oranın varyansı küme büyüklüklerinin karesiyle ters orantılıdır.

Anahtar Kavram

Farklı Büyüklüklü Kümelerde Oran Tahmini ve Varyansı

Alternatif Yöntem

Varyans hesabında

a_i - \hat{P}M_i

farklarının karesini almak yerine,

p_i = a_i/M_i

alt oranlarını hesaplayıp formülü

M_i^2 (p_i - \hat{P})^2

şeklinde dönüştürerek de aynı

s_c^2

sonucuna ulaşılabilir.

Soru 76Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK), ülke genelindeki hanehalklarının aylık gıda tüketim harcamalarını incelemek amacıyla kapsamlı bir araştırma planlamaktadır. Kitledeki tüm hanehalklarını içeren güncel ve eksiksiz bir çerçevenin bulunmaması ve geniş coğrafi alana yayılımın saha maliyetlerini çok yükseltmesi nedeniyle; coğrafi olarak birbirine yakın sokaklardan oluşan "bloklar" temel örnekleme birimi olarak belirlenmiş ve bu bloklar arasından rastgele bir örneklem çekilmiştir. Daha sonra, seçilen bu blokların içinde yer alan tüm hanelerle eksiksiz olarak görüşülmüştür.

Bu araştırmanın tasarımı ve uygulanan örnekleme yöntemiyle ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Yöntemin etkinliğini maksimize etmek için, oluşturulan her bir bloğun kendi içinde benzer harcama düzeylerine sahip (homojen), bloklar arasında ise birbirine göre oldukça farklı (heterojen) yapıda olması hedeflenmelidir.

Uygulanan bu yöntemde örnekleme birimi bloklar, gözlem birimi ise hanehalkıdır; yöntemin istatistiksel açıdan etkin olabilmesi için blok içi harcama yapısının olabildiğince heterojen olması beklenir.

Araştırmanın nihai verileri hanehalkından derlendiği için, bu tasarımda hem örnekleme birimi hem de gözlem birimi hanehalkıdır; bloklar yalnızca saha organizasyonunu kolaylaştıran idari katmanlardır.

Kitledeki blokların kendi aralarındaki harcama farklılıklarının (bloklar arası varyans) yüksek olması, kitledeki çeşitliliğin örnekleme yansımasını sağlayarak tasarım etkisini (design effect) 1'in altına düşürür.

Seçilen blokların içerisindeki tüm hanelerle istisnasız görüşülerek tam sayım yapıldığı için, bu araştırmanın sonuçları rassal seçimden kaynaklanan örnekleme hatası içermez, yalnızca örnekleme dışı hataları barındırır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Uygulanan bu yöntemde örnekleme birimi bloklar, gözlem birimi ise hanehalkıdır; yöntemin istatistiksel açıdan etkin olabilmesi için blok içi harcama yapısının olabildiğince heterojen olması beklenir.

Cevap

Doğru cevap, örnekleme biriminin bloklar ve gözlem biriminin hanehalkı olduğunu; küme örneklemesinin etkin olması için blok içi yapının heterojen olması gerektiğini belirten seçenektir.

Verilen senaryoda çerçeve yokluğu ve maliyet kısıtı nedeniyle doğrudan haneler seçilememiş; haneleri barındıran üst birimler olan 'bloklar' örneklemeye tabi tutulmuştur. Bu durum, blokların 'örnekleme birimi', bizzat ölçümün alındığı hanelerin ise 'gözlem birimi' olduğunu kanıtlar. Küme örneklemesinde asıl amaç, seçilen az sayıdaki kümenin bile popülasyonun geneline dair sağlam bilgi vermesidir. Bu nedenle, rastgele seçilen herhangi bir bloğun kitledeki genel çeşitliliği tek başına yansıtabilmesi, yani kendi içinde olabildiğince farklı (heterojen) harcama düzeylerine sahip haneleri barındırması istenir. İçi heterojen olan kümelerin birbirlerine (kümeler arası) benzemesi de istatistiksel varyansı düşürür ve etkinliği maksimize eder.

Adım Adım Çözüm

1

Senaryodaki temel araştırma birimlerinin rollerinin analiz edilmesi.

TÜİK listeleme (çerçeve) zorluğu nedeniyle önce 'blokları' seçmiş, ardından ölçümü 'hanelerde' yapmıştır. Dolayısıyla seçim yapılan (örnekleme) birimi blok, ölçüm yapılan (gözlem) birimi hanehalkıdır.

Kavramsal ayrımın netleşmesi, seçeneklerdeki birim hatalarını elemeyi sağlar.

2

Senaryoda kullanılan örnekleme yönteminin istatistiksel ilkelerinin belirlenmesi.

Yöntem tek aşamalı küme örneklemesidir. Küme örneklemesinde, her bir kümenin kitleyi minyatür biçimde yansıtması istendiğinden; küme içi varyansın (çeşitliliğin/heterojenliğin) yüksek, kümeler arası varyansın düşük olması arzulanır.

Küme içi korelasyonun (ICC) sıfıra yaklaşması ve negatif olması varyansı düşürerek yöntemin etkinliğini artırır.

3

Seçeneklerin örnekleme/gözlem birimi ve heterojenlik/homojenlik prensipleri üzerinden değerlendirilmesi.

Birim ayrımını doğru yapan ve blokların kendi içinde farklı harcama gruplarını (heterojen) barındırması gerektiğini ifade eden tek seçenek doğru olarak tespit edilir.

Diğer seçenekler tabakalı örnekleme özellikleri ile hata türleri kavramlarını hatalı şekilde küme örneklemesine uyarlamıştır.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Birim Ayrımı ve İstatistiksel Etkinlik (İçi Heterojen, Arası Homojen Olma İlkesi)

Soru 77Soru →

Orman Genel Müdürlüğü, belirli bir bölgedeki çam ağaçlarında görülen bir mantar hastalığının yaygınlığını belirlemek amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Araştırma bölgesi, her birinde eşit sayıda ve $M = 20$ adet ağaç bulunan toplam $N = 150$ parsele (kümeye) ayrılmıştır.

Bu parseller arasından basit rastgele örnekleme ile $n = 5$ parsel seçilmiş ve seçilen parsellerdeki hastalıklı ağaç sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki gibi tespit edilmiştir:

Parsel ( $i$ )	Hastalıklı Ağaç Sayısı ( $y_i$ )
1	12
2	14
3	15
4	17
5	12

Buna göre, bölgedeki toplam hastalıklı ağaç sayısına ilişkin tahmin ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

2.100

ve

19.575

2.100

ve

20.250

2.100

ve

15.660

2.100

ve

130,5

42.000

ve

19.575

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2.100$ ve $19.575$

Cevap

Bölgedeki toplam hastalıklı ağaç sayısı tahmini 2.100 ve bu tahminin varyansı 19.575'tir.

Kitle toplamı tahmini için kümelerin örneklem ortalaması

14

bulunup toplam küme sayısı olan

N=150

ile çarpılarak

2.100

elde edilmiştir. Bu tahminin varyansı ise

N^2 \times (1-f) \times \frac{s_b^2}{n}

formülü üzerinden adım adım hesaplandığında

150^2 \times (1 - \frac{5}{150}) \times \frac{4,5}{5} = 19.575

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki küme toplamlarının ortalamasını (

\bar{y}

) bularak kitle toplamını (

\hat{Y}

) tahmin etme.

\bar{y} = 14

ve

\hat{Y} = 2.100

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamı, küme ortalamalarının kitledeki toplam küme sayısı (N) ile çarpımıyla elde edilir.

\bar{y} = \frac{12 + 14 + 15 + 17 + 12}{5} = 14

\Rightarrow

\hat{Y} = 150 \times 14 = 2.100

.

2

Örnekleme ait küme varyansını (

s_b^2

) hesaplama.

s_b^2 = 4,5

Varyans, her bir gözlemin ortalamadan farklarının kareleri toplamının

(n-1)

'e bölünmesiyle bulunur.

s_b^2 = \frac{(-2)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (3)^2 + (-2)^2}{5 - 1} = \frac{18}{4} = 4,5

.

3

Sonlu kitle düzeltme (SKD) çarpanını ve toplamın varyansını (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplama.

\hat{V}(\hat{Y}) = 19.575

SKD (1-f) =

1 - \frac{5}{150} = \frac{29}{30}

. Toplamın varyansı

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \times (1 - f) \times \frac{s_b^2}{n} = 150^2 \times \frac{29}{30} \times \frac{4,5}{5} = 22.500 \times \frac{29}{30} \times 0,9 = 19.575

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Eşit Büyüklüklü Küme Örneklemesinde Toplam Tahmini ve Varyansı

Soru 78Soru →

Bir ulusal banka, Türkiye genelindeki yerel şubelerinin operasyonel süreçlerini denetlemek amacıyla bir çalışma başlatmıştır. Banka, toplam $N = 100$ şubeyi her biri bir küme olacak şekilde tanımlamış ve bu şubeler arasından basit rastgele örnekleme ile $n = 5$ şube seçmiştir.

Seçilen şubelerdeki tüm personelin gerçekleştirdiği işlemler tek tek incelenmiş ve tek aşamalı küme örneklemesi yaklaşımıyla şubeler bazında tespit edilen günlük hatalı işlem sayıları (

y_i

) aşağıdaki gibi kaydedilmiştir:

130, 140, 150, 160, 170

Buna göre, bankanın tüm şubelerinde gerçekleşen toplam hatalı işlem sayısının tahmini ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\hat{Y} = 15000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 500000

\hat{Y} = 15000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 380000

\hat{Y} = 15000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 475000

\hat{Y} = 150 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 47,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{Y} = 15000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{Y}) = 475000$

Cevap

Toplam hatalı işlem sayısı tahmini 15000 ve tahminin varyansı 475000'dir.

Tek aşamalı küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini

\hat{Y} = N \cdot \bar{y}_c

formülüyle hesaplanır. Kümelerin hatalı işlem sayılarının ortalaması

\bar{y}_c = 150

bulunduğundan

\hat{Y} = 100 \cdot 150 = 15000

olur. Kitle toplamı tahmininin varyansı ise

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot (1 - \frac{n}{N}) \cdot \frac{s_c^2}{n}

formülüne dayanır. Örneklem değerleri

(130, 140, 150, 160, 170)

üzerinden kümeler arası örneklem varyansı

s_c^2 = \frac{1000}{4} = 250

olarak bulunur. Formülde yerine konduğunda:

100^2 \cdot (1 - \frac{5}{100}) \cdot \frac{250}{5} = 10000 \cdot 0,95 \cdot 50 = 475000

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme ortalamasını (

\bar{y}_c

) hesaplama

\bar{y}_c = 150

Kitle toplamı tahmini için örneklemdeki kümelerin hata sayılarının ortalaması gereklidir:

(130+140+150+160+170) / 5 = 150

2

Kitle toplamını (

\hat{Y}

) tahmin etme

\hat{Y} = 15000

Tahmin formülü

\hat{Y} = N \cdot \bar{y}_c

olduğundan

100 \cdot 150 = 15000

bulunur.

3

Kümeler arası örneklem varyansını (

s_c^2

) hesaplama

s_c^2 = 250

s_c^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{y}_c)^2}{n - 1} = \frac{(-20)^2 + (-10)^2 + 0^2 + 10^2 + 20^2}{4} = \frac{1000}{4} = 250

4

Kitle toplamı tahmininin varyansını (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplama

\hat{V}(\hat{Y}) = 475000

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot (1 - \frac{n}{N}) \cdot \frac{s_c^2}{n} = 100^2 \cdot (1 - \frac{5}{100}) \cdot \frac{250}{5} = 10000 \cdot 0,95 \cdot 50 = 475000

Anahtar Kavram

Tek Aşamalı Küme Örneklemesinde Toplam Tahmini ve Varyansı

Soru 79Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, bir büyükşehirdeki ortaokul öğrencilerinin matematik başarısını ölçmek amacıyla ildeki tüm ortaokullar listesinden tesadüfi olarak $15$ okul seçmiştir. Araştırmacı, seçilen bu okullardaki tüm öğrencileri incelemek yerine, her okuldan tesadüfi olarak $25$ öğrenci seçerek verilerini toplamıştır. Bu araştırmada uygulanan örnekleme yöntemi aşağıdakilerden hangisidir?

Tabakalı rastgele örnekleme

Tek aşamalı küme örneklemesi

İki aşamalı küme örneklemesi

Sistematik örnekleme

Basit rastgele örnekleme

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İki aşamalı küme örneklemesi

Cevap

Araştırmacının önce okulları, sonra bu okullar içinden öğrencileri seçmesi İki aşamalı küme örneklemesi yöntemidir.

Doğru yanıt olan iki aşamalı küme örneklemesi, örnekleme sürecinin iki kademede (önce okul, sonra öğrenci) gerçekleşmesini tam olarak açıklar. Birinci aşamada seçilen kümelerin içindeki tüm birimlerin değil, sadece bir kısmının tesadüfi olarak belirlenmesi bu yöntemin ayırt edici özelliğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci aşamadaki birimi belirleme

Birinci aşamada seçilen birimler 'okullar'dır (kümeler).

Örnekleme sürecinin ilk adımı kitleyi temsil eden grupların seçilmesidir.

2

İkinci aşamadaki birimi belirleme

İkinci aşamada her okulun içinden 'öğrenciler' seçilmiştir.

Kümelerdeki tüm birimler değil, sadece bir alt kümesi seçildiği için süreç ikinci bir aşamaya geçmiştir.

3

Yöntemi tanımlama

İki ayrı aşamada gerçekleştirilen bu örnekleme 'İki aşamalı küme örneklemesi'dir.

Hiyerarşik bir yapıda önce kümelerin, sonra küme içi birimlerin seçilmesi bu yöntemin temel tanımıdır.

Anahtar Kavram

İki aşamalı küme örneklemesi, birincil örnekleme birimleri (kümeler) seçildikten sonra, bu birimlerin her birinden ikincil örnekleme birimlerinin rastgele seçilmesi sürecidir.

İpuçları

1

Örnekleme sürecinin kaç adımda gerçekleştiğine odaklanın.

2

İlk seçimde tüm kitleyi temsil eden hangi grupların (kümelerin) belirlendiğini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Seçilen kümelerdeki tüm birimlerin incelendiği durum (tek aşamalı) ile bu durumu karşılaştıran sorular çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 80Soru →

Bir ulaşım planlama uzmanı, bir şehirdeki belediye otobüs hatlarının kullanım memnuniyetini ölçmek amacıyla yürüteceği bir araştırmada; önce ildeki tüm otobüs hatları listesinden tesadüfi olarak $12$ hat seçmiş, ardından seçilen bu hatların her birinde seyahat eden yolcular arasından tesadüfi olarak $30$ kişi belirleyerek anket uygulamıştır.

Bu araştırmada uygulanan örnekleme yöntemi aşağıdakilerden hangisidir?

Basit rastgele örnekleme

Tabakalı rastgele örnekleme

Tek aşamalı küme örneklemesi

İki aşamalı küme örneklemesi

Sistematik örnekleme

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İki aşamalı küme örneklemesi

Cevap

İki aşamalı küme örneklemesi

İki aşamalı küme örneklemesi yönteminde seçim süreci hiyerarşik bir yapı izler. Bu senaryoda birinci aşamada kitleyi temsil eden doğal kümeler (otobüs hatları) seçilmiş, ikinci aşamada ise bu seçilen kümelerin her birinden gözlem birimleri (yolcular) tesadüfi olarak belirlenmiştir. Bu iki basamaklı seçim süreci yöntemi doğrudan tanımlar.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci aşama birimlerini (Birincil Örnekleme Birimleri - PÖB) belirleme ve seçme

12

adet otobüs hattı (küme) seçilmiştir.

Kitlenin tamamına ulaşmak zor olduğunda kitleyi temsil eden doğal grupların seçilmesi gerekir.

2

İkinci aşama birimlerini (İkincil Örnekleme Birimleri - İÖB) belirleme ve seçme

Seçilen her bir hattan

30

yolcu seçilmiştir.

Kümelerin içindeki tüm birimleri incelemek yerine maliyet ve zaman tasarrufu için kümelerden örneklem çekilir.

3

Örnekleme yöntemini tanımlama

İki aşamalı küme örneklemesi tasarımı elde edilmiştir.

Süreçte iki ayrı tesadüfi seçim aşaması bulunduğu için yöntem iki aşamalı olarak adlandırılır.

Anahtar Kavram

İki aşamalı küme örneklemesi, kitlenin önce 'küme' adı verilen gruplara ayrıldığı, ardından bu gruplar arasından bir örneklem seçildiği ve son olarak seçilen her grubun içinden de bir alt örneklem seçildiği yöntemdir.

Tahmini Süre:45s

Küme Örneklemesi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik