Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek Aşamalı Küme Örneklemesi

Bir kargo firması, sahip olduğu N=50N = 50 şubede (kümede) gün içinde işlenen toplam hatalı barkod sayısını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, şubeler arasından basit rastgele örnekleme ile n=5n = 5 şube seçilmiş ve seçilen şubelerdeki tüm kargolar tam sayıma tabi tutulmuştur (tek aşamalı küme örneklemesi).

Seçilen şubelerde tespit edilen hatalı barkod sayıları (yiy_i) sırasıyla 120, 80, 150, 90 ve 110 olarak bulunmuştur.

Buna göre, kargo firmasının tüm şubelerindeki toplam hatalı barkod sayısı için yansız tahmin değeri (Y^\hat{Y}) ve bu tahmin edicinin varyans tahmini (V^(Y^)\widehat{V}(\hat{Y})) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. Y^=5500;V^(Y^)=337.500\hat{Y} = 5500 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 337.500Cevap
  2. B
    Y^=5500;V^(Y^)=375.000\hat{Y} = 5500 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 375.000
  3. C
    Y^=5500;V^(Y^)=135\hat{Y} = 5500 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 135
  4. D
    Y^=550;V^(Y^)=337.500\hat{Y} = 550 \quad ; \quad \widehat{V}(\hat{Y}) = 337.500

Cevap

Kitle toplamı tahmini 5500 ve varyans tahmini 337.500 olarak bulunan seçenektir.
Tek aşamalı küme örneklemesinde, ilgilenilen kitle toplamı yansız olarak Y^=Nyˉ\hat{Y} = N\bar{y} eşitliği ile bulunur. Burada N=50N=50 şube ve örneklemdeki hatalı barkod ortalaması yˉ=110\bar{y} = 110 olduğu için Y^=5500\hat{Y} = 5500'dür. Toplam tahmin edicisinin varyansı ise SKD dâhil edilerek V^(Y^)=N2(1−nN)sc2n\widehat{V}(\hat{Y}) = N^2(1 - \frac{n}{N}) \frac{s_c^2}{n} formülüyle hesaplanır. Küme varyansı sc2=750s_c^2 = 750 olarak bulunduğunda, varyans tahmini 502×(0.9)×7505=337.50050^2 \times (0.9) \times \frac{750}{5} = 337.500 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemdeki küme toplamlarının ortalaması (yˉ\bar{y}) hesaplanır.
yˉ=120+80+150+90+1105=5505=110\bar{y} = \frac{120 + 80 + 150 + 90 + 110}{5} = \frac{550}{5} = 110
Kitle toplamını yansız tahmin etmek için örneklem ortalamasına ihtiyaç vardır.
2
Kitle toplamı yansız tahmin edicisi (Y^=Nyˉ\hat{Y} = N\bar{y}) formülü ile hesaplanır.
Y^=50×110=5500\hat{Y} = 50 \times 110 = 5500
Tek aşamalı küme örneklemesinde toplam yansız tahmin edici, evrendeki toplam küme sayısı (NN) ile örneklem küme ortalamasının çarpımıdır.
3
Seçilen kümelerin (şubelerin) varyansı sc2=∑(yi−yˉ)2n−1s_c^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{n-1} formülü ile hesaplanır.
sc2=(120−110)2+(80−110)2+(150−110)2+(90−110)2+(110−110)24=100+900+1600+400+04=30004=750s_c^2 = \frac{(120-110)^2 + (80-110)^2 + (150-110)^2 + (90-110)^2 + (110-110)^2}{4} = \frac{100 + 900 + 1600 + 400 + 0}{4} = \frac{3000}{4} = 750
Tahmin edicinin varyansını hesaplayabilmek için örneklem içi değişkenlik (küme varyansı) bulunmalıdır.
4
Kitle toplamının varyans tahmini V^(Y^)=N2(1−nN)sc2n\widehat{V}(\hat{Y}) = N^2 \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s_c^2}{n} formülü uygulanarak bulunur.
V^(Y^)=502(1−550)7505=2500×0.9×150=2250×150=337.500\widehat{V}(\hat{Y}) = 50^2 \left(1 - \frac{5}{50}\right) \frac{750}{5} = 2500 \times 0.9 \times 150 = 2250 \times 150 = 337.500
İadesiz seçim yapıldığı için formüle Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) olan (1−f)(1-f) eklenmeli ve kitle toplamı arandığı için varyans N2N^2 ile genişletilmelidir.

Anahtar Kavram

Tek Aşamalı Küme Örneklemesinde Kitle Toplamı Tahmini ve Varyansı
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Aşamalı Küme Örneklemesi

Bu konudan daha fazla soru